서론
시작하는 글
극한
극한의 정의, 극한의 성질
우극한, 좌극한, 함수의 연속성
중간값 정리, 사잇값 정리, 불차노 정리, 홀수차 실계수 방정식의 근의 존재성
극한값에 대한 오개념
수열의 극한, 진동 발산
극한의 계산
수열의 극한, 등비수열의 극한, 등비수열의 수렴 조건
자연상수 e
지수함수와 로그함수의 극한
삼각함수의 극한
급수
수렴하는 급수의 성질, 급수의 수렴판정법
등비급수, 등비급수의 수렴조건
미분
미분, 평균변화율, 순간변화율, 미분계수
미분가능과 연속
도함수, 이계도함수, 고계도함수
롤의 정리, 평균값 정리, 최대 최소 정리
함수의 그래프, 증감표, 극값, 변곡점
미분 공식
n차 다항함수의 도함수
곱의 미분법
몫의 미분법
합성함수의 미분법
음함수, 음함수의 미분법
매개변수로 나타내어진 함수의 미분법
역함수의 미분법
지수함수와 로그함수의 도함수
삼각함수의 도함수
적분
부정적분
적분의 성질
적분 공식
n차 다항함수의 부정적분
지수함수와 로그함수의 부정적분
삼각함수의 부정적분
치환적분법
정적분
정적분
구분구적법 - 급수와 정적분의 관계
활용
접선의 방정식
학생들은 적분을 배우기 앞서 미분을 배운다. 이로 인해 학생들은 적분보다 미분이 먼저 사용되기 시작했다고 알고 있는 사람이 다수이다. 실제로는 적분이 미분에 비해 더 오래전부터 사용되어 왔다. 또한 미분과 적분이 관계가 있음도 최근에 밝혀진 사실이다. 여기서는 극한에 대한 내용을 구성한 후 미분, 적분에 대해 설명할 것이다. 또한 이전의 글과 다르게 이 글 이후부터는 가끔씩 연습문제를 만들어 올릴 것이다1. 풀이도 올릴 것이니 풀어보고 자신의 풀이와 다른 점을 비교해보기 바란다.
미분과 적분을 배우며 많은 얘기를 듣는다. '이딴 것을 왜 만들었을까? 힘들기만 하게..', '일상에서 쓰지도 않는 것 같은데 왜 배우는 것일까?' 등... 필자는 이들에 대해 공부하는 게 재밌어서 배우지만 사실 이런 사람이 얼마나 있을까? 개인적으로는 아쉽지만 거의 없을 것 같다. 심지어 '미분적분학' 자체가 상당히 어려운 학문이기에 학교에서 배우는 것도 기초적인 정의와 연산일 뿐이다. 비유를 하자면 자연수가 뭔지 배우고 더하기 빼기 같은 연산을 배우는 것이라 할 수 있겠다. 그렇다 보니 학생들이 쉽게 이해할 수 있도록 선생님들이 더 노력하시는듯 하다. 그렇다보니 과거 오일러가 대중이 직관적으로 이해할 수 있도록 설명하여 증명과정에 수학적인 오류가 나타났던 것처럼 선생님들도 학생들에게 직관을 이용해 설명하다가 학생들이 잘못 이해하는 경우도 가끔 있었다. 특히 '급수와 정적분의 관계', '순환하는 무한소수'는 학생들 사이에서 많은 논쟁이 나타났다. 이러한 오해를 바로잡기 위해서는 직관적 이해를 포기하고 수식으로 설명하면 된다. 그러나 이는 오히려 학생들이 수학을 싫어하게 만드는 독이 될 수 있다. 그러므로 조금이나마 학생들의 오해를 바로 잡고 응용 능력을 길러주어 학생들이 시험 문제를 풀 때 조금이나마 도움이 될 수 있도록 하는 취지에서 이 '미분과 적분 시리즈'의 연재를 시작한다.
우리는 우리의 판단력보다는 도리어 대수적 계산에 신뢰를 두어야 한다.
-레온하르트 오일러
- 문제를 필자가 직접 만드는 것이기에 문제에 대한 저작권은 필자 본인에게 있음을 알려드립니다. 학습을 위해서 개인적으로 문제를 푸는 것이나 허락을 받고 문제를 복사하는 것에 대해서는 가능한 문제 삼지 않으려 합니다. 그러나 문제 복제 및 유포에 대하여는 저작권법에 의한 처벌을 받을 수 있음을 명심하시길 바랍니다. [본문으로]
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