원의 성질(1)

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새창으로 열기 - [목차] 원의 성질 - 고등학생을 위한 수학

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들어가며...

 2015 개정 교육과정으로 수학을 배우는 학생들은 이전 교육과정과 비교하였을 때 상당히 많은 개념 및 내용을 제외하고 배운다. 추가되는 부분 또한 물론 있지만 이보단 제외되거나 학습 과정의 순서가 바뀌어 많은 수학적 개념이 빈약해질 수 밖에 없다(이는 필자의 개인적 생각입니다.). 고등학교에서 이수가능한 수학 중 미적분을 예로 들어보자. 미적분을 공부하다보면 어떤 도형에 대한 정보를 그림과 함께 주고, 이를 이용해서 푸는 문제가 많다. 그 중에서도 삼각함수의 극한과 등비급수를 다루는 문제는 원과 관련된 문제가 많이 나온다. 문제의 해설을 보면 대체로 사인법칙이나 코사인법칙을 이용하는 경우가 많은데 상당히 복잡한 경우가 많다. 그러나 이러한 문제는 원의 성질을 이용하면 쉽고 간단한 풀이로 풀리는 경우가 많다. 그러나 2015 개정 교육과정에는 '원의 성질' 중 '원과 비례'가 빠지면서^[각주:1] 이를 이용한 풀이를 많은 해설지가 적지 않는다. 교육과정에서 제외되면서 오히려 학생들의 문제 해결 능력을 약화시키는 것으로 보인다. 이에 학생들의 합리적인 문제 해결 및 응용 능력 상향에 도움이 될 것이라 생각하여 첫 단추를 '원의 성질'로 시작한다. 서론이 길었다. 이제부터 본 주제로 넘어가 '원'에 대하여 알아볼 것이다.

원

 '원'을 어떻게 정의할 수 있을까? 한번 생각해보자.

원

위 그림은 프로그램을 이용해 그린 '원'이다. 아래는 '원'의 기하학적 정의이다.

한 평면상에서 한 점에 이르는 거리가 일정한 점들의 집합

위 그림의 점 O를 원의 중심이라고 하며, 원의 중심에서 원 위의 한 점까지의 거리인 원의 반지름은 원의 정의에 의하여 항상 일정하다. 아래 그림은 원 위의 세 점과 원의 중심을 이용해 만든 각이다. 그림의 각에는 특별한 관계가 있다.

 눈치챘는가? 어떠한 관계가 있는지 말하기 앞서 용어를 정리해보자.

원호: 원둘레의 일부분
중심각: 원호 양끝의 두 점 B, C와 원의 중심 O를 통해 만든 각 BOC. 이때 각 BOC를 (원)호 BC에 대한 중심각이라 한다.
원주각: 원호 양끝의 두 점 B, C와 원 위의 한 점 P를 통해 만든 각 BPC. 이때 각 BPC를 (원)호 BC에 대한 원주각이라 한다.

아마 눈치 챈 독자도 있을 것이다. 어떤 원호에 대한 원주각과 중심각이 있을 때, 중심각의 크기는 원주각의 크기의 두 배이다. 자 그럼 지금부터 증명해보자.^[각주:2]

증명 1

 보조정리 -동일한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 동일하다.

 증명에 앞서 동일한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 동일함을 증명해보자. 원의 중심의 위치에 따라 경우를 나누면 다음의 세 가지로 나눌 수 있다.

원의 중심의 위치: 삼각형의 내부(case 1), 삼각형의 한 변의 위(case 2), 삼각형의 외부(case 3)

 

 case 1 - 원의 중심이 삼각형의 내부에 위치하는 경우

$$ \overline{OP} \text{를 포함하는 직선이 원 O와 만나는 두 점 중 점 P가 아닌 점을 Q라 하자.} $$

$$ \overline{OP} = \overline{OB} = \overline{OC} \left(\because \overline{OP} \text{, } \overline{OB} \text{, } \overline{OC} \text{는 원 O의 반지름} \right) $$

$$ \text{이때 } \overline{OP} = \overline{OB} \text{, } \overline{OP} = \overline{OC} \text{이므로 } \triangle POB \text{, } \triangle POC \text{는 이등변삼각형} $$

$$ \angle OPB = \angle OBP \text{, } \angle OPC = \angle OCP \left( \because \triangle POB \text{, } \triangle POC \text{는 이등변삼각형} \right) $$

$$ \angle OPB = \angle OBP = \alpha \text{, } \angle OPC = \angle OCP = \beta \text{라고 하면} $$

$$ \angle BOQ = 2 \alpha \text{, } \angle COQ = 2 \beta \left( \because \angle BOQ \text{는 } \angle BOP \text{의 외각, } \angle COQ \text{는 } \angle COP \text{의 외각} \right) $$

$$ \text{이때 } \angle BPC = \alpha + \beta \text{이므로} $$

$$ \begin{matrix} \angle BOC &=& \angle BOQ + \angle COQ \\ &=& 2 \alpha + 2\beta \\ &=& 2 \left( \alpha + \beta \right) \\ &=& 2 \angle BPC \end{matrix} $$

$$ \therefore \text{case 1에서 } \angle BOC = 2 \angle BPC \text{가 성립한다.} $$

 case 2 - 원의 중심이 삼각형의 한 변의 위에 위치하는 경우

$$ \angle BPC = \theta \text{라고 하자.} $$

$$ \overline{OP} = \overline{OC} \text{이므로 } \triangle POC \text{는 이등변삼각형} \left( \because \overline{OP} \text{, } \overline{OC} \text{는 원 O의 반지름} \right) $$

$$ \angle OCP = \angle OPC = \theta \left( \because \triangle OPC \text{는 이등변삼각형} \right) $$

$$ \therefore \angle BOC = 2 \theta \text{이므로} \left( \because \angle BOC \text{는 } \angle POC \text{의 외각} \right) $$

$$ \text{case 2에서 } \angle BOC = 2 \angle BPC \text{가 성립한다.} $$

 case 3 - 원의 중심이 삼각형의 외부에 위치하는 경우

$$ \overline{OC} \text{와 } \overline{BP} \text{가 만나는 점을 Q, } \angle BPC = \theta \text{, } \angle OPB = \alpha \text{, } \angle BOC = x \text{라고 하면} $$

$$ \angle PBO = \angle BPO = \alpha \text{이므로} \left( \because \triangle OBP \text{는 } \overline{OB} = \overline{OP} \text{인 이등변삼각형} \right) $$

$$ \angle BQC = \angle BOC + \angle PBO = x + \alpha \left( \because \angle BQC \text{는 } \angle OQB \text{의 외각} \right) $$

$$ \text{이떄 } \angle OCP = \angle OPC = \alpha + \theta \text{이므로} \left( \because \triangle OCP \text{는 } \overline{OC} = \overline{OP} \text{인 이등변삼각형} \right) $$

$$ \angle BQC = \angle BPC + \angle OCP = \alpha +2 \theta \left( \because \angle BQC \text{는 } \angle PQC \text{의 외각} \right) $$

$$ \text{따라서 } x + \alpha = \alpha +2 \theta \text{이므로} $$

$$ x=2 \theta $$

$$ \therefore \text{case 3에서 } \angle BOC = 2 \angle BPC \text{가 성립한다.} $$

 

$$ \therefore \text{case 1, case 2, case 3에서 } \angle BOC = 2 \angle BPC \text{가 성립하므로} $$

$$ \text{동일한 호에서 그은 원주각의 크기는 항상 같다.} $$

증명 2

 -어떤 원호에 대한 원주각과 중심각이 있을 때, 중심각의 크기는 원주각의 크기의 두 배이다.

 앞에서 보조 정리를 통해 동일한 호에 대한 원주각의 크기는 항상 일정함을 보였다. 본 증명을 위해 원주각의 크기에 따라 경우를 다음의 세 가지로 나눌 수 있다.

원주각의 크기: 예각(case 1), 직각(case 2), 둔각(case 3)

 

 case 1 - 원주각의 크기가 예각인 경우

$$ \overline{OP} \text{를 포함하는 직선이 원 O와 만나는 두 점 중 점 P가 아닌 점을 Q라 하자.} $$

$$ \overline{OP} = \overline{OB} = \overline{OC} \left(\because \overline{OP} \text{, } \overline{OB} \text{, } \overline{OC} \text{는 원 O의 반지름} \right) $$

$$ \text{이때 } \overline{OP} = \overline{OB} \text{, } \overline{OP} = \overline{OC} \text{이므로 } \triangle POB \text{, } \triangle POC \text{는 이등변삼각형} $$

$$ \angle OPB = \angle OBP \text{, } \angle OPC = \angle OCP \left( \because \triangle POB \text{, } \triangle POC \text{는 이등변삼각형} \right) $$

$$ \angle OPB = \angle OBP = \alpha \text{, } \angle OPC = \angle OCP = \beta \text{라고 하면} $$

$$ \angle BOQ = 2 \alpha \text{, } \angle COQ = 2 \beta \left( \because \angle BOQ \text{는 } \angle BOP \text{의 외각, } \angle COQ \text{는 } \angle COP \text{의 외각} \right) $$

$$ \text{이때 } \angle BPC = \alpha + \beta \text{이므로} $$

$$ \begin{matrix} \angle BOC &=& \angle BOQ + \angle COQ \\ &=& 2 \alpha + 2\beta \\ &=& 2 \left( \alpha + \beta \right) \\ &=& 2 \angle BPC \end{matrix} $$

$$ \therefore \text{case 1에서 } \angle BOC = 2 \angle BPC \text{가 성립한다.} $$

 case 2 - 원주각의 크기가 직각인 경우

$$ \overline{OP} \text{를 포함하는 직선이 원 O와 만나는 두 점 중 점 P가 아닌 점을 Q, } \angle BPO = \alpha \text{, } \angle OPC = \beta \text{라고 하면} $$

$$ \alpha + \beta = 90^\circ \text{, } \angle PBO = \angle BPO = \alpha \text{, } \angle PCO = \angle OPC = \beta $$

$$ \left( \because \triangle OPB \text{는 } \overline{OP} = \overline{OB} \text{인 이등변삼각형, } \triangle OPC \text{는 } \overline{OP} = \overline{OC} \text{인 이등변삼각형} \right) $$

$$ \text{이떄, } \angle BOQ, \angle COQ \text{는 } \angle POB, \angle POC \text{의 외각이므로} \angle BOQ = 2 \alpha \text{, } \angle COQ = 2 \beta \text{이므로} $$

$$ \begin{matrix} \angle BOC &=& \angle BOQ + \angle COQ \\ &=& 2 \alpha + 2 \beta \\ &=& 2 \left( \alpha + \beta \right) \\ &=& 180^\circ \end{matrix} $$

$$ \therefore \angle BPC = 90^\circ \text{, } \angle BOC = 180^\circ \text{case 2에서 } \angle BOC = 2 \angle BPC \text{가 성립한다.} $$

 case 3 - 원주각의 크기가 둔각인 경우

$$ \overline{OP} \text{를 포함하는 직선이 원 O와 만나는 두 점 중 점 P가 아닌 점을 Q라고 하면} $$

$$ \text{증명 2의 case 1에 의하여 } \angle BOQ = 2 \angle BPO \text{, } \angle COQ = 2 \angle CPO \text{이므로} $$

$$ \begin{matrix} \angle BOC &=& \angle BOQ + \angle COQ \\ &=& 2 \angle BPO + 2 \angle CPO \\ &=& 2 \left( \angle BPO + \angle CPO \right) \\ &=& 2 \angle BPC \end{matrix} $$

$$ \therefore \text{case 3에서 } \angle BOC = 2 \angle BPC \text{가 성립한다.} $$

 

$$ \therefore \text{case 1, case 2, case 3에서 } \angle BOC = 2 \angle BPC \text{가 성립하므로} $$

$$ \text{한 호에 대한 원주각의 크기는 동일한 호에 대한 중심각의 크기의 두 배이다.} $$

 

 

 

기하학에는 왕도가 없다.

-유클리드

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1. 교육부 고시 제2015-74호 [별책 8]_수학과 교육과정 p.35 참고

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2. 그림이 적어 이해하기 힘들 수 있으니 직접 해보길 바랍니다. 혹시 몰라요. 그 과정에서 새로운 것을 더 얻어갈 수 있을지.

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