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수학

벡터공간과 그 공간의 원소 벡터 - 선형대수학(7) 새창으로 열기 - [목차] 선형대수학 앞서 유향선분 벡터의 연산에 대해 간단히 알아보았다. 이제 이 연산 중 벡터의 합성과 스칼라곱의 대수적 성질을 알아보자. 임의의 세 벡터 \( x \), \( y \), \( z \)와 임의의 두 스칼라 \( s \), \( t \)에 대하여 다음 성질이 성립한다. 성질 1 : \( x + y = y + x \)가 성립한다. 성질 1 : 즉, 덧셈 연산에 대한 교환법칙이 성립한다. 성질 2 : x + y + z = \( \left( x + y \right) + z = x + \left( y + z \right) \)가 성립한다. 성질 2 : 즉, 덧셈 연산에 대한 결합법칙이 성립한다. 성질 3 : 덧셈 항등원의 존재성 : \( x + O = x \)인 벡터 \( O .. 더보기
평면의 방정식 - 선형대수학(6) 새창으로 열기 - [목차] 선형대수학 평면의 방정식 벡터의 합성과 스칼라곱을 이용하면 평면의 방정식을 간단하게 표현할 수 있다. 먼저 원점이 \( O \)인 3차원 유클리드 공간 상에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 \( A \), \( B \), \( C \)를 생각하자. 세 점 \( A \), \( B \), \( C \)를 포함하는 평면을 \( S \), 시점이 원점 \( A \)이고 종점이 \( B \), \( C \)인 두 벡터를 각각 \( u \), \( v \)라고 하자. 아래 그림에서 볼 수 있듯이 임의의 두 실수 \( p \), \( q \)에 대하여 두 벡터 \( u \), \( v \)의 스칼라배 \( p u \), \( q v \)는 각각 직선 AB 상에 있는 임의의 한 점 B'과.. 더보기
직선의 방정식 - 선형대수학(5) 새창으로 열기 - [목차] 선형대수학 직선의 방정식 벡터의 합성과 스칼라곱을 이용하면 직선의 방정식을 간단하게 표현할 수 있다. 먼저 원점이 \( O \)인 2차원 유클리드 평면 위의 두 점 \( A \), \( B \)를 생각하자. 시점이 원점 \( O \)이고 종점이 \( A \), \( B \)인 두 벡터를 각각 \( u \), \( v \)라 할 때, 시점이 A이고 종점이 B인 벡터를 \( w \)라고 하면 \( w = v-u \)가 성립한다. 우리는 벡터를 표기할 때 위치벡터를 이용하여 표현하기에 벡터 \( w \) 또한 아래 그림처럼 평행이동하여 위치벡터로 나타내자. 아래 그림에서 볼 수 있듯이 임의의 실수 \( t \)에 대하여 벡터 \( w \)의 스칼라배 \( t w \)는 직선 OB' .. 더보기
벡터의 내적과 외적 - 선형대수학(4) 새창으로 열기 - [목차] 선형대수학 흔히 사칙연산이라고 하면 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 말한다. 스칼라곱을 통해 벡터와 스칼라간에는 곱셈이 가능함을 보였다. 물론 스칼라간에도 곱셈이 가능함은 자명하다. 이제 벡터간의 곱셈을 정의해보자. 벡터의 내적(Inner Product, Dot Product) 두 벡터 \( u \), \( v \)에 대하여 \( u = \left( u_{1} \text{, } u_{2} \right) \), \( v = \left( v_{1} \text{, } v_{2} \right) \)의 내적 \( u \cdot v \)는 다음과 같이 계산한다. \( u \cdot v = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} \) 여기서 '\( cdot \)'은 "접곱" 또는 "dot.. 더보기
벡터의 크기와 스칼라곱 - 선형대수학(3) 새창으로 열기 - [목차] 선형대수학 유향선분 벡터는 방향과 크기를 가지며, 스칼라는 크기만을 가진다. 이를 이용하여 벡터의 방향을 유지한 체로 벡터의 크기를 변화시켜보자. 벡터의 크기(노름, norm) 우선 벡터의 크기(노름)를 계산하는 방법에 대해 알아보자. 먼저 벡터 \( a = \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) \)를 생각해보자. 벡터 a의 크기는 선분 OP의 길이와 같으므로 피타고라스의 정리에 의하여 다음과 같이 서술할 수 있다. \( \overline{ OP } = \sqrt{ a_{1}^{2} + a_{2}^{2} } \) 벡터 a의 크기는 \( \left| a \right| \) 또는 \( \lVert a \rVert \)로 표기한다. 그러므로 다음이 성립한.. 더보기
벡터의 합성 - 선형대수학(2) 새창으로 열기 - [목차] 선형대수학 유향선분 벡터는 크기와 방향을 가지기에 크기만을 고려하여 더하는 기존의 덧셈 방식을 사용할 수 없다. 이러한 문제를 해결하기 위해 우리는 벡터를 위한 새로운 덧셈 방식을 알아보자. 평행사변형법 $$ w = u + v $$ 평행사변형법은 두 벡터의 시점을 일치시킨 후, 각 벡터를 평행이동하여 새로이 만들어진 벡터의 시점을 방향이 다른 벡터의 종점에 일치시켜 사용하는 벡터의 합성 방법이다. 이때, 두 벡터와 평행이동한 두 벡터로 인해 만들어지는 사각형은 평행사변형을 이루게 되고, 처음에 일치시킨 시점이 두 벡터를 합성한 벡터의 시점이, 평행이동한 벡터가 이루는 종점이 두 벡터를 합성한 벡터의 종점이 된다. 두 벡터의 시점을 일치시킨다. 두 벡터를 이웃한 두 변으로 하는 .. 더보기
벡터 - 선형대수학(1) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 새창으로 열기 - [목차] 선형대수학 이 글을 읽는 독자들은 아마 벡터라는 단어를 들어본 적이 있을 것이다. 필자는 중학교 과학 수업 중에 알짜힘에 대해 배울 당시에 처음 접하였다. 아마 많은 독자들은 크기와 방향이 있는 선분인 벡터가 어떠한 개념인지 대충이나마 알고 있을 것이다. 중학교에서 접한 이들이라면 아무래도 물리 수업 중에 들었을 것이고, 고등학교에서 접한 이들이라면 물리 I, II 또는 기하와 벡터 수업 중에 들었을 것이다. 선형대수학에서도 벡터라는 개념이 사용되는데, 크게 두 가지 개념으로 사용된다. 우선 본문에서는 그.. 더보기
[서론] 선형대수학 새창으로 열기 - [목차] 선형대수학 서론 수많은 학문(특히 자연과학)에 있어서 기반이 되는 학문을 고르라면 대부분 수학을 고를 것이라 생각한다. 수학은 다양한 현상을 분석하고, 추상화하여 서술하기에 매우 효과적이다. 이러한 서술을 위해 사용되는 수학의 다양한 분야 중에서도 가장 기반이 되는 분야는 집합론, 대수학, 미적분학, 통계학이다. 여기서는 그 중에서 선형대수학에 대해 다룰 것이다. 목적 이 시리즈를 구성한 목적은 아래와 같다. 1. 선형대수학을 배우길 원하는 사람이 어디서부터 시작할 지 막막하여 배우질 못하고 있는 경우, 선형대수학에 입문할 수 있도록 2. 전공으로든, 교양으로든 선형대수학을 배우고 있는 사람의 이해를 돕기 위해 3. 코드 등의 알고리즘을 작성할 때, 대수학적 개념이 필요하여 이.. 더보기
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