평면의 방정식 - 선형대수학(6)

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평면의 방정식

 벡터의 합성과 스칼라곱을 이용하면 평면의 방정식을 간단하게 표현할 수 있다. 먼저 원점이 \( O \)인 3차원 유클리드 공간 상에서 한 직선 위에 있지 않은 세 점 \( A \), \( B \), \( C \)를 생각하자.

한 직선 상에 있지 않은 세 점 A, B, C에 의해 정의되는 평면

세 점 \( A \), \( B \), \( C \)를 포함하는 평면을 \( S \), 시점이 원점 \( A \)이고 종점이 \( B \), \( C \)인 두 벡터를 각각 \( u \), \( v \)라고 하자.

벡터 \( u \), \( v \)

아래 그림에서 볼 수 있듯이 임의의 두 실수 \( p \), \( q \)에 대하여 두 벡터 \( u \), \( v \)의 스칼라배 \( p u \), \( q v \)는 각각 직선 AB 상에 있는 임의의 한 점 B'과 직선 AC 상에 있는 임의의 한 점 C'을 종점으로 하는 벡터가 된다. 이때, 평면 \( S \)는 점 A를 반드시 포함하므로 다음과 같은 식을 통해 평면 \( S \) 상에 있는 임의의 한 점을 나타낼 수 있다.

\( A + p u + q v \)

벡터 \( u \), \( v \)의 일차결합으로 표현된 평면 \( S \)

따라서 평면 \( S \) 위의 임의의 한 점을 \( x \)라고 하면 \( x = A + p u + q w \)로 표현할 수 있다. 여기서 \( A = \left( a_{1} \text{, } a_{2} \text{, } a_{3} \right) \), \( B = \left( b_{1} \text{, } b_{2} \text{, } b_{3} \right) \), \( C = \left( c_{1} \text{, } c_{2} \text{, } c_{3} \right) \)라고 하면 평면 \( S \)의 방정식 \( x = A + p u + q v \)를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ x = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{bmatrix} + p \begin{bmatrix} b_{1} - a_{1} \\ b_{2} - a_{2} \\ b_{3} - a_{3} \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} c_{1} - a_{1} \\ c_{2} - a_{2} \\ c_{3} - a_{3} \end{bmatrix} $$

 이는 n차원 공간 상에서 정의된 임의의 세 점 \( A = \left( a_{1} \text{, } a_{2} \text{, } a_{3} \text{, } \cdots \text{, } a_{n} \right) \), \( B = \left( b_{1} \text{, } b_{2} \text{, } b_{3} \text{, } \cdots \text{, } b_{n} \right) \), \( C = \left( c_{1} \text{, } c_{2} \text{, } c_{3} \text{, } \cdots \text{, } c_{n} \right) \)를 포함하는 평면 \( S \)의 방정식으로 일반화하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} + p \begin{bmatrix} b_{1} - a_{1} \\ b_{2} - a_{2} \\ b_{3} - a_{3} \\ \vdots \\ b_{n} - a_{n} \end{bmatrix} + q \begin{bmatrix} c_{1} - a_{1} \\ c_{2} - a_{2} \\ c_{3} - a_{3} \\ \vdots \\ c_{n} - a_{n} \end{bmatrix} $$

 

 

 

근본적인 발전은 기초적인 사상을 새롭게 해석할 때에 이루어진다.

-화이트헤드

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