벡터의 크기와 스칼라곱 - 선형대수학(3)

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 유향선분 벡터는 방향과 크기를 가지며, 스칼라는 크기만을 가진다. 이를 이용하여 벡터의 방향을 유지한 체로 벡터의 크기를 변화시켜보자.

벡터의 크기(노름, norm)

벡터 a

 우선 벡터의 크기(노름)를 계산하는 방법에 대해 알아보자. 먼저 벡터 $a=\left(a_1\text{, }{a}_2\right)$를 생각해보자. 벡터 a의 크기는 선분 OP의 길이와 같으므로 피타고라스의 정리에 의하여 다음과 같이 서술할 수 있다.

$\overline{OP}=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

벡터 a의 크기는 $\left|a\right|$ 또는 $\Vert a\Vert$로 표기한다. 그러므로 다음이 성립한다.

벡터 $a=\left(a_1\text{, }{a}_2\right)$에 대하여

벡터 a의 크기 $\Vert a\Vert =\sqrt{a_1^2+a_2^2}$

스칼라곱

세 벡터 u, v, w

 우선 세 벡터 $u=\left(1\text{, }2\right)$, $v=\left(2\text{, }4\right)$, $w=\left(3\text{, }6\right)$을 생각해보자. 세 벡터는 방향은 같지만 크기는 서로 다르다. 그림에서 볼 수 있듯이 벡터 v의 크기는 벡터 u의 크기의 2배이며, 벡터 w의 크기는 벡터 u의 크기의 3배이다. 그러므로 다음과 같이 서술할 수 있다.

$\Vert v\Vert =2\Vert u\Vert$, $\Vert w\Vert =3\Vert u\Vert$

여기서 세 벡터의 방향은 곱해지는 값에 영향을 받지 않는다. 그러므로 다음과 같이 서술해도 무방하다.

$v=2u$, $w=3u$

여기서 곱해지는 2와 3은 크기만을 가지므로 스칼라이다. 이렇듯 벡터에 스칼라가 곱해지는 연산을 스칼라곱이라고 한다.

$$ku$$

 스칼라곱 연산에 의하여 다음이 성립한다.

임의의 두 벡터 $u$, $v$가 평행하면 임의의 스칼라 k에 대하여 $u=kv$가 성립한다.

 

 

 

수학보다 간단하고 보편적인 언어가 또 있을까? 수학은 실수와 혼동이 가장 적은 언어로서, 만물의 일정한 관계를 표현하기에 가장 훌륭한 언어다.

-푸리에

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