벡터의 크기와 스칼라곱 - 선형대수학(3)

새창으로 열기 - [목차] 선형대수학

---

 유향선분 벡터는 방향과 크기를 가지며, 스칼라는 크기만을 가진다. 이를 이용하여 벡터의 방향을 유지한 체로 벡터의 크기를 변화시켜보자.

벡터의 크기(노름, norm)

벡터 a

 우선 벡터의 크기(노름)를 계산하는 방법에 대해 알아보자. 먼저 벡터 \( a = \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) \)를 생각해보자. 벡터 a의 크기는 선분 OP의 길이와 같으므로 피타고라스의 정리에 의하여 다음과 같이 서술할 수 있다.

\( \overline{ OP } = \sqrt{ a_{1}^{2} + a_{2}^{2} } \)

벡터 a의 크기는 \( \left| a \right| \) 또는 \( \lVert a \rVert \)로 표기한다. 그러므로 다음이 성립한다.

벡터 \( a = \left( a_{1} \text{, } a_{2} \right) \)에 대하여

벡터 a의 크기 \( \lVert a \rVert = \sqrt{ a_{1}^{2} + a_{2}^{2} } \)

스칼라곱

세 벡터 u, v, w

 우선 세 벡터 \( u = \left( 1 \text{, } 2 \right) \), \( v = \left( 2 \text{, } 4 \right) \), \( w = \left( 3 \text{, } 6 \right) \)을 생각해보자. 세 벡터는 방향은 같지만 크기는 서로 다르다. 그림에서 볼 수 있듯이 벡터 v의 크기는 벡터 u의 크기의 2배이며, 벡터 w의 크기는 벡터 u의 크기의 3배이다. 그러므로 다음과 같이 서술할 수 있다.

\( \lVert v \rVert = 2 \lVert u \rVert \), \( \lVert w \rVert = 3 \lVert u \rVert \)

여기서 세 벡터의 방향은 곱해지는 값에 영향을 받지 않는다. 그러므로 다음과 같이 서술해도 무방하다.

\( v = 2 u \), \( w = 3 u \)

여기서 곱해지는 2와 3은 크기만을 가지므로 스칼라이다. 이렇듯 벡터에 스칼라가 곱해지는 연산을 스칼라곱이라고 한다.

$$ k u $$

 스칼라곱 연산에 의하여 다음이 성립한다.

임의의 두 벡터 \( u \), \( v \)가 평행하면 임의의 스칼라 k에 대하여 \( u = k v \)가 성립한다.

 

 

 

수학보다 간단하고 보편적인 언어가 또 있을까? 수학은 실수와 혼동이 가장 적은 언어로서, 만물의 일정한 관계를 표현하기에 가장 훌륭한 언어다.

-푸리에

---