직선의 방정식 - 선형대수학(5)

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직선의 방정식

 벡터의 합성과 스칼라곱을 이용하면 직선의 방정식을 간단하게 표현할 수 있다. 먼저 원점이 $O$인 2차원 유클리드 평면 위의 두 점 $A$, $B$를 생각하자. 

두 점 A, B를 지나는 직선

시점이 원점 $O$이고 종점이 $A$, $B$인 두 벡터를 각각 $u$, $v$라 할 때, 시점이 A이고 종점이 B인 벡터를 $w$라고 하면 $w=v-u$가 성립한다. 우리는 벡터를 표기할 때 위치벡터를 이용하여 표현하기에 벡터 $w$ 또한 아래 그림처럼 평행이동하여 위치벡터로 나타내자.

벡터 $u$, $v$, $w$

아래 그림에서 볼 수 있듯이 임의의 실수 $t$에 대하여 벡터 $w$의 스칼라배 $tw$는 직선 OB' 상에 있는 임의의 한 점을 종점으로 하는 벡터가 된다. 이때, 직선 AB는 직선 OB'과 평행하므로 다음과 같은 식을 통해 직선 AB 상에 있는 임의의 한 점을 나타낼 수 있다.

$A+tw$

벡터 $u$, $v$의 일차결합으로 표현된 직선 AB

따라서 직선 AB 위의 임의의 한 점을 $x$라고 하면 $x=A+tw$로 표현할 수 있다. 여기서 $A=\left(a_1\text{, }{a}_2\right)$, $B=\left(b_1\text{, }{b}_2\right)$라고 하면 직선 AB의 방정식 $x=A+tw$를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$x=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\end{array}\right]$$

 이는 n차원 공간 상에서 정의된 임의의 두 점 $A=(a_1\text{, }{a}_2\text{, }{a}_3\text{, }\cdots \text{, }{a}_n)$, $B=(b_1\text{, }{b}_2\text{, }{b}_3\text{, }\cdots \text{, }{b}_n)$를 지나는 직선 AB의 방정식으로 일반화하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]+t\left[\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3\\ ⋮\\ b_n-a_n\end{array}\right]$$

 

 

 

만물은 거대한 기호로 가득 차 있으며, 현명한 사람은 어떤 것으로부터 다른 것에 대한 것을 알 수 있다.

-플로티누스

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