벡터공간과 그 공간의 원소 벡터 - 선형대수학(7)

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 앞서 유향선분 벡터의 연산에 대해 간단히 알아보았다. 이제 이 연산 중 벡터의 합성과 스칼라곱의 대수적 성질을 알아보자.

임의의 세 벡터 \( x \), \( y \), \( z \)와 임의의 두 스칼라 \( s \), \( t \)에 대하여 다음 성질이 성립한다.   성질 1 : \( x + y = y + x \)가 성립한다.   성질 1 : 즉, 덧셈 연산에 대한 교환법칙이 성립한다.   성질 2 : x + y + z = \( \left( x + y \right) + z = x + \left( y + z \right) \)가 성립한다.   성질 2 : 즉, 덧셈 연산에 대한 결합법칙이 성립한다.   성질 3 : 덧셈 항등원의 존재성 : \( x + O = x \)인 벡터 \( O \)가 존재한다.   성질 3 : 즉, 덧셈 연산에 대한 항등원이 존재한다.   성질 4 : 각 벡터 \( x \)마다 \( x + y = O \)인 벡터 \( y \)가 존재한다.   성질 4 : 즉, 덧셈 연산에서 각 벡터에 대한 연원이 존재한다.   성질 5 : \( 1x = x \)가 성립한다.   성질 5 : 즉, 스칼라곱에 대한 항등원이 존재한다.   성질 6 : \( st x = \left( st \right) x = s \left( t x \right) \)가 성립한다.   성질 6 : 즉, 스칼라곱에 대한 결합법칙이 성립한다.   성질 7 : \( t \left( x + y \right) = tx + ty \)가 성립한다.   성질 7 : 즉, 스칼라곱에 대한 좌분배법칙이 성립한다.   성질 8 : \( \left( s + t \right) x = sx + tx \)가 성립한다.   성질 8 : 즉, 스칼라곱에 대한 우분배법칙이 성립한다.

 각 성질은 유향선분 벡터의 연산을 정의하기 위해 중요하다.

벡터공간(Vector Space)

 수많은 대수적 구조는 유향선분 벡터의 합성과 스칼라곱과 동일한 연산 체계를 가진다. 그러므로 한 집합 안에서 이러한 연산을 가지는 대수적 구조를 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space)이라고 정의한다. 또한 이러한 벡터공간의 원소를 벡터라고 한다. 아래는 벡터공간의 정의이다.

체 \( F \)에서의 벡터공간 또는 선형공간 \( V \)는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 덧셈과 스칼라곱을 가지는 집합이며, \( F \)-벡터공간 \( V \)라고 표기한다. 체 \( F \)의 원소를 스칼라(Scalar), 벡터공간 \( V \)의 원소를 벡터(Vector)라고 한다.  덧셈은 \( V \)의 두 원소 \( x \), \( y \)에 대하여 유일한 원소 \( x + y \in V \)를 대응하는 연산이다.  스칼라곱은 체 \( F \)의 원소 \( a \)와 벡터공간 \( V \)의 원소 \( x \)마다 유일한 원소 \( ax \in V \)를 대응하는 연산이다.   조건 1 : 임의의 \( x \text{, } y \in V \)에 대하여 \( x + y = y + x \)이다.   조건 2 : 임의의 \( x \text{, } y \text{, } z \)에 대하여 \( x + y + z = \left( x + y \right) + z = x + \left( y + z \right) \)이다.   조건 3 : 임의의 \( x \in V \)에 대하여 \( x + O = x \)인 \( O \in V \)가 존재한다.   조건 4 : 각 \( x \in V \)마다 \( x + y = O \)인 \( y \in V \)가 존재한다.   조건 5 : 각 \( x \in V \)에 대하여 \( 1 x = x \)이다.   조건 6 : 임의의 \( a \text{, } b \in F \)와 임의의 \( x \in V \)에 대하여 \( ab x = \left( ab \right) x = a \left( b x \right) \)이다.   조건 7 : 임의의 \( a \in F \)와 임의의 \( x \text{, } y \in V \)에 대하여 \( a \left( x + y \right) = ax + ay \)이다.   조건 8 : 임의의 \( a \text{, } b \in F \)와 임의의 \( x \in V \)에 대하여 \( \left( a + b \right) x = ax + bx \)이다.

 이후로 언급되는 벡터는 특별한 언급이 없을 경우 벡터공간의 원소를 의미한다.

튜플(Tuple)

 \( a_{1} \text{, } a_{2} \text{, } a_{3} \text{, } \cdots \text{, } a_{n} \)이 체 \( F \)의 원소일 때, \( \left( a_{1} \text{, } a_{2} \text{, } a_{3} \text{, } \cdots \text{, } a_{n} \right) \) 꼴의 수학적 대상을 \( F \)에서 성분을 가져온 n순서쌍(n-tuple) 또는 n-튜플이라고 한다. 이러한 순서쌍을 구성하는 원소 \( a_{1} \text{, } a_{2} \text{, } a_{3} \text{, } \cdots \text{, } a_{n} \)을 n-튜플의 성분(entry, compose)이라고 한다. \( F \)에서 성분을 가져온 두 n-튜플 \( \left( a_{1} \text{, } a_{2} \text{, } a_{3} \text{, } \cdots \text{, } a_{n} \right) \), \( \left( b_{1} \text{, } b_{2} \text{, } b_{3} \text{, } \cdots \text{, } b_{n} \right) \)은 \( a_{i} = b_{i} \) \( \left( i = 1 \text{, } 2 \text{, } 3 \text{, } \cdots \text{, } n \right) \)일 때, 두 n-튜플은 같다고 정의한다.

 

 

 

문외한들의 비이성적 생각과 달리 수 체계의 선택은 단지 약속의 문제이다.

-파스칼

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