벡터공간과 그 공간의 원소 벡터 - 선형대수학(7)

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 앞서 유향선분 벡터의 연산에 대해 간단히 알아보았다. 이제 이 연산 중 벡터의 합성과 스칼라곱의 대수적 성질을 알아보자.

임의의 세 벡터 $x$, $y$, $z$와 임의의 두 스칼라 $s$, $t$에 대하여 다음 성질이 성립한다.   성질 1 : $x+y=y+x$가 성립한다.   성질 1 : 즉, 덧셈 연산에 대한 교환법칙이 성립한다.   성질 2 : x + y + z = $(x+y)+z=x+(y+z)$가 성립한다.   성질 2 : 즉, 덧셈 연산에 대한 결합법칙이 성립한다.   성질 3 : 덧셈 항등원의 존재성 : $x+O=x$인 벡터 $O$가 존재한다.   성질 3 : 즉, 덧셈 연산에 대한 항등원이 존재한다.   성질 4 : 각 벡터 $x$마다 $x+y=O$인 벡터 $y$가 존재한다.   성질 4 : 즉, 덧셈 연산에서 각 벡터에 대한 연원이 존재한다.   성질 5 : $1x=x$가 성립한다.   성질 5 : 즉, 스칼라곱에 대한 항등원이 존재한다.   성질 6 : $stx=\left(st\right)x=s\left(tx\right)$가 성립한다.   성질 6 : 즉, 스칼라곱에 대한 결합법칙이 성립한다.   성질 7 : $t(x+y)=tx+ty$가 성립한다.   성질 7 : 즉, 스칼라곱에 대한 좌분배법칙이 성립한다.   성질 8 : $(s+t)x=sx+tx$가 성립한다.   성질 8 : 즉, 스칼라곱에 대한 우분배법칙이 성립한다.

 각 성질은 유향선분 벡터의 연산을 정의하기 위해 중요하다.

벡터공간(Vector Space)

 수많은 대수적 구조는 유향선분 벡터의 합성과 스칼라곱과 동일한 연산 체계를 가진다. 그러므로 한 집합 안에서 이러한 연산을 가지는 대수적 구조를 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(linear space)이라고 정의한다. 또한 이러한 벡터공간의 원소를 벡터라고 한다. 아래는 벡터공간의 정의이다.

체 $F$에서의 벡터공간 또는 선형공간 $V$는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 덧셈과 스칼라곱을 가지는 집합이며, $F$-벡터공간 $V$라고 표기한다. 체 $F$의 원소를 스칼라(Scalar), 벡터공간 $V$의 원소를 벡터(Vector)라고 한다.  덧셈은 $V$의 두 원소 $x$, $y$에 대하여 유일한 원소 $x+y\in V$를 대응하는 연산이다.  스칼라곱은 체 $F$의 원소 $a$와 벡터공간 $V$의 원소 $x$마다 유일한 원소 $ax\in V$를 대응하는 연산이다.   조건 1 : 임의의 $x\text{, }y\in V$에 대하여 $x+y=y+x$이다.   조건 2 : 임의의 $x\text{, }y\text{, }z$에 대하여 $x+y+z=(x+y)+z=x+(y+z)$이다.   조건 3 : 임의의 $x\in V$에 대하여 $x+O=x$인 $O\in V$가 존재한다.   조건 4 : 각 $x\in V$마다 $x+y=O$인 $y\in V$가 존재한다.   조건 5 : 각 $x\in V$에 대하여 $1x=x$이다.   조건 6 : 임의의 $a\text{, }b\in F$와 임의의 $x\in V$에 대하여 $abx=\left(ab\right)x=a\left(bx\right)$이다.   조건 7 : 임의의 $a\in F$와 임의의 $x\text{, }y\in V$에 대하여 $a(x+y)=ax+ay$이다.   조건 8 : 임의의 $a\text{, }b\in F$와 임의의 $x\in V$에 대하여 $(a+b)x=ax+bx$이다.

 이후로 언급되는 벡터는 특별한 언급이 없을 경우 벡터공간의 원소를 의미한다.

튜플(Tuple)

 $a_1\text{, }{a}_2\text{, }{a}_3\text{, }\cdots \text{, }{a}_n$이 체 $F$의 원소일 때, $(a_1\text{, }{a}_2\text{, }{a}_3\text{, }\cdots \text{, }{a}_n)$ 꼴의 수학적 대상을 $F$에서 성분을 가져온 n순서쌍(n-tuple) 또는 n-튜플이라고 한다. 이러한 순서쌍을 구성하는 원소 $a_1\text{, }{a}_2\text{, }{a}_3\text{, }\cdots \text{, }{a}_n$을 n-튜플의 성분(entry, compose)이라고 한다. $F$에서 성분을 가져온 두 n-튜플 $(a_1\text{, }{a}_2\text{, }{a}_3\text{, }\cdots \text{, }{a}_n)$, $(b_1\text{, }{b}_2\text{, }{b}_3\text{, }\cdots \text{, }{b}_n)$은 $a_i=b_i$ $(i=1\text{, }2\text{, }3\text{, }\cdots \text{, }n)$일 때, 두 n-튜플은 같다고 정의한다.

 

 

 

문외한들의 비이성적 생각과 달리 수 체계의 선택은 단지 약속의 문제이다.

-파스칼

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