벡터의 내적과 외적 - 선형대수학(4)

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 흔히 사칙연산이라고 하면 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 말한다. 스칼라곱을 통해 벡터와 스칼라간에는 곱셈이 가능함을 보였다. 물론 스칼라간에도 곱셈이 가능함은 자명하다. 이제 벡터간의 곱셈을 정의해보자.

벡터의 내적(Inner Product, Dot Product)

벡터의 내적의 기하학적 의미

 두 벡터 \( u \), \( v \)에 대하여 \( u = \left( u_{1} \text{, } u_{2} \right) \), \( v = \left( v_{1} \text{, } v_{2} \right) \)의 내적 \( u \cdot v \)는 다음과 같이 계산한다.

\( u \cdot v = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} \)

여기서 '\( cdot \)'은 "접곱" 또는 "dot" 등으로 읽으며, 내적 연산자로 사용된다. 내적 연산자는 생략할 수 없다.

 내적 연산은 벡터의 동일한 위치의 성분을 곱하여 얻은 값들을 모두 더하여 연산의 결과를 얻는다. 이 연산은 다음 방법으로도 동일한 결과를 얻을 수 있다.

\( u \cdot v = \lVert u \rVert \lVert v \rVert \cos{ \theta } \)

여기서 \( \theta \)는 두 벡터 \( u \), \( v \)가 이루는 각을 의미한다. 이 연산에서 벡터의 내적의 기하학적 의미를 찾을 수 있다. 위의 그림을 참고하면서 아래 설명을 읽기 바란다.

 먼저 벡터 \( u \)를 벡터 \( v \)의 위로 정사영하면 그 길이는 \( \left| u \right| \cos{ \theta } \)가 된다. 이 길이에 벡터 \( v \)의 길이 \( \left| v \right| \)를 곱하면 벡터의 내적 연산과 동일한 결과를 나타낸다. 이는 벡터 \( u \)와 \( v \)를 바꾸어 진행하여도 동일한 결과가 나타난다. 따라서 벡터의 내적 연산은 한 벡터를 다른 벡터의 위로 정사영하여 나타나는 길이와 그 다른 벡터의 길이의 곱이다.

벡터의 외적(Outer Product, Cross Product)

벡터의 외적의 기하학적 의미

 두 벡터 \( u \), \( v \)에 대하여 \( u = \left( u_{1} \text{, } u_{2} \text{, } u_{3} \right) \), \( v = \left( v_{1} \text{, } v_{2} \text{, } v_{3} \right) \)의 내적 \( u \cdot v \)는 다음과 같이 계산한다.

\( u \times v = \left( u_{2}v_{3} - u_{3}v_{2} \text{, } u_{3}v_{1} - u_{1}v_{3} \text{, } u_{1}v_{2} - u_{2}v_{1} \right) \)

여기서 '\( \times \)'는 "가위곱", "크로스곱" 등으로 읽으며, 외적 연산자로 사용된다. 내적 연산자와 마찬가지로 외적 연산자는 생략할 수 없다.

 벡터의 외적 연산은 다음 두 방법으로도 동일한 결과를 얻을 수 있다.

\( u \times v = \lVert u \rVert \lVert v \rVert \sin{ \left( \theta \right) } n \)

$$ u \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{vmatrix} $$

 여기서 \( \theta \)는 두 벡터 \( u \), \( v \)가 이루는 각을, \( n \)은 두 벡터 \( u \), \( v \)를 포함하는 평면에 수직인 단위벡터를 의미한다. 이 연산에서 벡터의 외적의 기하학적 의미를 찾을 수 있다. 위의 그림을 보면서 다음 설명을 읽기 바란다.

 위 연산에서 벡터 \( n \)에 곱해지는 모든 값은 스칼라이므로 외적 연산의 결과로 나타나는 벡터의 방향은 벡터 \( n \)의 방향과 같다. 따라서 벡터의 외적은 두 벡터를 포함하는 평면에 수직인 벡터를 나타낸다.

 

 벡터의 외적과 내적에 대하여 간단히 정리하자면 벡터의 내적은 스칼라값을, 외적은 벡터값을 결과로 나타낸다. 벡터의 내적과 외적에 대해서는 행렬식과 함께 다시 다루도록 하겠다.

 

 

 

대부분의 과학에서 한 세대는 다른 세대가 건설한 것을 해체하고, 한 세대가 확립한 것을 다른 세대가 되돌려 놓는다. 수학에서만은 각 세대가 과거의 구조에 새로운 층을 쌓아 올린다.

-헤르만 한켈

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