수학/고등학생을 위한 수학 썸네일형 리스트형 집합과 명제(27) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 보통 증명을 얘기하면 가정으로부터 출발하여 결론을 얻어내는 연역적 증명을 말한다. 그러나 증명에는 연역적 증명 이외에도 여러 종류가 있다. 본문과 본문 이후 두 개의 글에서는 수학적 귀납법에 대해 알아볼 것이다. 귀납법 먼저 귀납법에 대해 알아보자. 귀납법이란 다양한 현상 등을 관찰하여 공통적인 특성을 추출해 그 대상에 대한 개념 또는 규칙을 찾아내는 것을 의미한다. 자연과학에서는 진화를 연구함에 주로 사용된다. 귀납법을 통해 어떤 현상에 대한 주장을 근거하기 위해서는 그와 관련된 모든 현상이 이 주장을 따름을 보여야 한다. 다만 .. 더보기 집합과 명제(26) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 보통 증명을 얘기하면 가정으로부터 출발하여 결론을 얻어내는 연역적 증명을 말한다. 그러나 증명에는 연역적 증명 이외에도 여러 종류가 있다. 본문에서는 귀류법을 이용한 증명에 대해 알아볼 것이다. 귀류법에 의한 증명 귀류법을 이용한 증명은 귀류법, 모순증명법이라고도 불린다. 귀류법은 어떤 주장이 함의하고 있는 내용을 따라가다 보면 모순이 생김을 보여 그 주장이 거짓됨을 보이는 원리를 이용한 증명법이다. 수학에서는 주로 어떤 명제의 결론이 부정임을 가정하면 그에 따라 가정과 모순되는 결론이 도출됨을 보여 본래의 명제가 참임을 보인다. .. 더보기 집합과 명제(25) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 보통 증명을 얘기하면 가정으로부터 출발하여 결론을 얻어내는 연역적 증명을 말한다. 그러나 증명에는 연역적 증명 이외에도 여러 종류가 있다. 본문에서는 대우에 의한 증명에 대해 알아볼 것이다. 대우에 의한 증명 대우에 의한 증명은 대우증명법이라고도 불린다. 대우에 의한 증명은 어떤 명제의 대우의 진리값은 그 명제의 진리값과 동일하다는 성질을 이용한 증명법이다. 예시를 통해 알아보자. 예시 명제 ⓐ 임의의 정수 \( n \)에 대하여 \( 3n+2 \)가 홀수이면 \( n \)은 홀수이다. 명제 ⓐ의 대우 임의의 정수 \( n \)에 .. 더보기 집합과 명제(24) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 연역적 증명 보통 증명을 얘기하면 가정으로부터 출발하여 결론을 얻어내는 연역적 증명을 말한다. 그러므로 연역적 증명은 명제에 변화를 주지 않고 가정으로부터 결론을 차근차근 유도해나간다. 예를 통해 알아보자. 예시 명제 ⓐ 임의의 정수 \( n \)에 대하여 \( n \)이 홀수인 정수이면 \( n^{2} \)은 홀수인 정수이다. 증명 정수 \( n \)이 홀수이므로 \( n = 2k+1 \)을 만족하는 정수 \( k \)가 존재한다. 등식 \( n = 2k+1 \)의 양변을 제곱하면 $$ \begin{matrix} n^{2} &=&.. 더보기 집합과 명제(23) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 명제는 참과 거짓이 명확하게 구별되는 문장이나 식이라고 하였다. 그러므로 우리는 주어진 정보를 바탕으로 특정한 명제가 참인지 거짓인지 판별할 수 있어야 한다. 이러한 과정을 증명이라고 한다. 증명 앞서 언급했듯이 증명은 이미 알고 있는 사실을 바탕으로 하여 명제의 진리값을 논리적으로 알아내는 과정을 말한다. 여기서 '이미 알고 있는 사실'은 주로 공리 또는 공준, 명제가 정의되는 공리계에서 참으로 받아들여지는 명제를 의미한다. 증명은 크게 직접증명과 간접증명으로 나눠진다. 직접증명 직접증명은 명제에 변형을 가하지 않고 연역적인.. 더보기 집합과 명제(22) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 명제 \( p \to q \)가 참이면 두 조건 \( p \), \( q \)에 새로운 이름을 붙여준다. 본문에서 이에 대해 알아보자. 충분조건과 필요조건 명제 \( p \to q \)가 참일 때, \( p \)는 \( q \)이기 위한 충분조건 \( q \)는 \( p \)이기 위한 필요조건 명제 \( p \to q \)가 참이고, 그 역 \( q \to p \)가 참일 때, \( p \)는 \( q \)이기 위한 필요충분조건 두 집합 \( P \), \( Q \)를 각각 진리집합으로 가지는 두 조건 \( p \), \( q \).. 더보기 집합과 명제(21) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 중학교부터 우리는 수많은 정리를 배워 왔다. 이에 대하여 떠올려보면 '이 명제의 역은 성립한다.'나 '이 명제의 역은 성립하지 않는다.' 같은 문장을 읽어본 기억이 있을 것이다. 본문에서는 '역'과 '대우'에 대하여 알아볼 것이다. 명제의 역과 대우 명제 \( p \to q \)에 대하여 가정과 결론을 서로 바꿔 만든 명제 \( q \to q \)를 명제 \( p \to q \)의 역이라고 한다. 명제 \( p \to q \)에 대하여 가정과 결론을 각각 부정하여 서로 바꿔 만든 명제 \( \sim q \to \sim p \)를 명.. 더보기 원의 성질(3) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 새창으로 열기 - [목차] 원의 성질 - 고등학생을 위한 수학 다른 도형에서도 볼 수 있듯이 도형의 개수가 둘 이상이면 각 도형 사이의 위치 관계를 확인할 수 있다. 본문에서는 xy좌표평면 위에 있는 두 원의 중심과 반지름이 주어졌을 때, 두 원 사이의 위치 관계에 대해 알아볼 것이다. 두 원 사이의 위치 관계 한 평면 위에 두 원이 있을 때, 생길 수 있는 위치 관계는 두 원이 일치하거나, 서로 다른 두 점에서 만나거나, 한 점에서 만나거나, 만나지 않는 경우로 총 4가지 경우가 존재한다. 특히 두 원이 한 점에서 만나는 경우에는.. 더보기 이전 1 2 3 4 ··· 22 다음
