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수학/고등학생을 위한 수학

집합과 명제(9) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 수를 더하고, 빼고, 곱하고, 나누듯이 집합은 연산이 가능하다. 물론 수하고 연산하는 규칙이 다르다. 본문에서는 집합의 연산 중 합집합과 교집합에 대해 알아볼 것이다. 합집합 두 집합 A, B에 대하여 A에 속하거나 B에 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 두 집합 A와 B로 이루어진 합집합이라고 한다. 다시 말해 원소가 두 집합 중 어느 하나에든지 속하기만 하면 그 원소는 그 두 집합으로 이루어진 합집합의 원소가 된다. 이를 기호로 \( A \cup B \)라고 하며, 벤다이어그램으로 아래와 같이 표현할 수 있다. 두 집합 A, .. 더보기
대수(5) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 복소수 역시 수이므로 복소수에 대하여 닫혀있는 연산이 있을 것이다. 본문에서는 복소수의 덧셈과 뺄셈에 대하여 다룰 것이다. 복소수의 덧셈과 뺄셈 두 복소수 \( z_{1} \), \( z_{2} \)을 허수단위 \( i \)와 임의의 실수 \( a_{1} \), \( a_{2} \), \( b_{1} \), \( b_{2} \)에 대하여 \( z_{1} = a_{1} +b_{1} i \), \( z_{2} = a_{2} +b_{2} i \)라고 하자. 이 경우 두 복소수의 합 \( z_{1}+z_{2} \)은 다음과 같이 계산한다... 더보기
집합과 명제(8) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 많은 수학 개념들이 그렇듯이 집합 간에도 여러 가지 관계가 존재한다. 본문에서는 그중 집합 사이의 포함 관계에 대해 다루고자 한다. 부분집합 두 집합 \( A \), \( B \)에 대하여 \( A \)의 모든 원소가 \( B \)에 속할 때, 집합 \( A \)가 집합 \( B \)에 포함된다고 하고, 이를 기호로 \( A \subset B \)로 나타낸다. 여기서 집합 \( A \)를 집합 \( B \)의 부분집합이라고 한다. 또한 집합 \( A \)가 집합 \( B \)의 부분집합이 아닐 때, 즉, 집합 \( A \)가 집합 .. 더보기
집합과 명제(7) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전 글에서 집합을 표현하는 3가지 방법에 대해 알아보았다. 본문에서는 서로 같은 집합에 대해 알아볼 것이다. 서로 같은 집합 두 집합이 서로 같기 위해서는 두 집합의 크기, 즉 두 집합이 포함하는 원소의 개수가 같아야 하고, 또 두 집합 내의 모든 원소가 동일해야 한다. 예를 들어 네 집합 \( A \), \( B \), \( C \), \( D \)에 대하여 \( A = \left\{ 1 \text{, } 4 \text{, } 8 \text{, } k \right\} \), \( B = \left\{ 1 \text{, } 4 \.. 더보기
대수(4) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전 글에서 복소수의 허수부분과 실수부분을 알아보았다. 본문에서는 이를 이용하여 수의 동치관계를 설명하고, 켜레복소수라는 새로운 개념에 대해 알아볼 것이다. 복소수가 서로 같을 조건 두 복소수 \( z_{1} \), \( z_{2} \)에 대하여 \( z_{1} = a_{1}+b_{1} i \), \( z_{2} = a_{2} +b_{2} i \)라고 하면 조건 \( a_{1} = a_{2} \)이고 \( b_{1} = b_{2} \)는 \( z_{1} = z_{2} \)이기 위한 필요충분조건이다. 다시 말해 \( a_{1} = a.. 더보기
대수(3) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전 글에서 허수가 무엇인지 알아보았다. 허수라는 새로운 수를 정의했으므로 우리는 실수와 허수를 포함하는 새로운 수 체계를 도입해야한다. 그것이 바로 복소수다. 복소수 복소수란 실수와 허수를 모두 포함하는 수를 말하며, 모든 복소수는 임의의 두 실수 \( a \), \( b \)와 허수 단위 \( i \)에 대하여 \( a+bi \) 꼴로 표현가능하다. 아래는 복소수까지 확장한 수의 체계이다. $$ \text{복소수} \begin{cases} \text{실수} \begin{cases} \text{유리수} \begin{cases} \.. 더보기
확률과 통계(17) ※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 집합의 종류에는 부분집합과 진부분집합이라는 것이 있다. 본문에서 원소의 개수가 n인 집합에서 만들 수 있는 부분집합과 진부분집합의 개수에 대해 알아보자. 부분집합의 개수 어떤 집합 A에 대한 부분집합의 개수는 그 집합 A에 속하는 각 원소가 부분집합을 구성하는 원소가 될 것인가의 여부로 결정할 수 있다. 예시를 통해 알아보자. 예시 \( \left\{ a \text{, } b \text{, } c \right\} \) 위의 집합은 3개의 원소를 가지는 집합이다. 이 집합의 부분집합을 모두 구해보자. \( \left\{ X \text.. 더보기
확률과 통계(16) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞선 글에서 다룬 함수의 개수를 구하는 방법에 대해 다루었다. 경우의 수를 구하는 유형 중 이러한 함수의 개수를 구하는 방법과 비슷한 유형이 하나 더 있다. 바로 음이 아닌 정수해의 개수를 구하는 방법이다. 본문에서는 이러한 유형의 경우의 수를 구하는 방법에 대하여 알아볼 것이다. 음이 아닌 정수해의 개수 음이 아닌 정수해란 방정식의 수많은 해 중 0 이상의 정수, 즉 0과 자연수만으로 이루어지는 해를 말한다. 음이 아닌 정수해의 개수를 구하는 방법은 상당히 다양한데, 그 유형에 따라 여러 방법을 섞어 쓰면 풀이하는데 도움이 된다.. 더보기
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