대수(5)

※본문에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 복소수 역시 수이므로 복소수에 대하여 닫혀있는 연산이 있을 것이다. 본문에서는 복소수의 덧셈과 뺄셈에 대하여 다룰 것이다.

복소수의 덧셈과 뺄셈

 두 복소수 $z_{1}$, $z_{2}$을 허수단위 $i$와 임의의 실수 $a_{1}$, $a_{2}$, $b_{1}$, $b_{2}$에 대하여 $z_{1} = a_{1} +b_{1} i$, $z_{2} = a_{2} +b_{2} i$라고 하자. 이 경우 두 복소수의 합 $z_{1}+z_{2}$은 다음과 같이 계산한다.

$z_{1}+z_{2} = \left( a_{1}+a_{2} \right) +\left( b_{1}+b_{2} \right) i$

허수단위 $i$를 마치 문자처럼 취급하여 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 계산해주면 된다. 두 복소수 간의 뺄셈 또한 같은 방식으로 계산해주면 된다.

$z_{1}-z_{2} = \left( a_{1}-a_{2} \right) +\left( b_{1}-b_{2} \right) i$

 또한 임의의 복소수 $z = a+bi$와 복소수 $z$에 대한 켤레복소수 $\overline{z}$ 간의 합은 항상 실수이다. (단, $a$, $b$는 실수이고, $i^{2} = -1$)

$z = a+bi$, $\overline{z} = \overline{a+bi} = a-bi$

$z+\overline{z} = \left( a+bi \right) +\left( a-bi \right) = 2a$

예시

$\begin{matrix} \left( 5 +7i \right) +\left( 4 -8i \right) &=& \left( 5+4 \right) +\left( 7-8 \right) i \\ &=& 9 -i \end{matrix}$

$\begin{matrix} \left( 4 +\sqrt{3} i \right) -\left( 3 -2 \sqrt{3} i \right) &=& \left( 4-3 \right) +\left( \sqrt{3} +2 \sqrt{3} \right) i \\ &=& 1+3 \sqrt{3} i \end{matrix}$

$\begin{matrix} \left( 7 +\sqrt{5} i \right) +\left( \overline{ \sqrt{3} +\sqrt{2} i } \right) &=& \left( 7 +\sqrt{5} i \right) +\left( \sqrt{3} -\sqrt{2} i \right) \\ &=& \left( 7+\sqrt{3} \right) +\left( \sqrt{5} -\sqrt{2} \right) i \\ &=& 7 +\sqrt{3} +\left( \sqrt{5} -\sqrt{2} \right) i \end{matrix}$

 

 

 

나는 말하는 것보다 계산하는 것을 더 먼저 배웠다.

-가우스

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