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교집합과 합집합을 연산으로 볼 수 있으며, 이들은 특별한 몇 가지 성질을 지닌다. 본문에서는 이들의 성질에 대해 알아볼 것이다.
교집합과 합집합의 성질
| 두 집합 \( A \), \( B \)에 대하여 ① \( A \cup A = A \cap A = A \) ② \( A \cup \varnothing = A \cap \varnothing = \varnothing \) ③ \( A \cup \left( A \cap B \right) = A \cap \left( A \cup B \right) = A \) ④ \( A \subset B \)이면 \( A \cap B = A \), \( A \cup B = B \) |
① \( A \cup A = A \cap A = A \)
이는 동일한 집합 간 교집합 또는 합집합 연산을 할 경우, 연산 결과로 그 집합이 나온다는 의미이다. 아래 그림은 밴다이어그램을 이용한 증명을 나타낸 것이다.
증명
② \( A \cup \varnothing = A \cap \varnothing = \varnothing \)
어떤 집합이든 공집합과 교집합 또는 합집합 연산을 할 경우, 연산 결과로 항상 공집합이 나오게 된다. 아래 그림은 밴다이어그램을 이용한 증명을 나타낸 것이다.
벤다이어그램을 이용한 증명
③ \( A \cup \left( A \cap B \right) = A \cap \left( A \cup B \right) = A \)
두 집합이 있을 때, 한 집합과 두 집합의 교집합 간 합집합 연산을 하거나, 한 집합과 두 집합의 합집합 간 교집합 연산을 할 경우, 연산 결과로 그 한 집합이 나온다. 아래 그림은 밴다이어그램을 이용한 증명을 나타낸 것이다.
밴다이어그램을 이용한 증명
④ \( A \subset B \)이면 \( A \cap B = A \), \( A \cup B = B \)
두 집합 사이에 포함 관계가 존재할 때, 두 집합 간 교집합 또는 합집합 연산을 하면, 교집합 연산의 결과로 두 집합 중 작은 집합이, 합집합 연산의 결과로 두 집합 중 큰 집합이 나온다. 그러므로 ①, ②, ③은 모두 ④의 특수한 경우이다. 아래 그림은 밴다이어그램을 이용한 증명을 나타낸 것이다.
밴다이어그램을 이용한 증명
수학은 모든 추상적 개념을 다루는데 적합한 도구이다. 이 분야에서의 수학의 위력에는 한계가 없다.
-폴 디랙
