대수(7)

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 복소수 역시 수이므로 복소수 집합 내에서 대하여 닫혀있는 연산이 있을 것이다. 본문에서는 복소수의 나눗셈에 대하여 다룰 것이다.

복소수의 나눗셈

 두 복소수 \( z_{1} \), \( z_{2} \)에 대하여 \( z_{1} = a_{1} +b_{1} i \), \( z_{2} = a_{2} +b_{2} i \)라고 하면 복소수의 나눗셈 \( \frac{ z_{1} }{ z_{2} } \)는 다음과 같이 계산한다.

$$ \frac{ z_{1} }{ z_{2} } = \frac{ a_{1} +b_{1} i }{ a_{2} +b_{2} i } ( \text{ 단, } z_{2} \ne 0 ) $$

이 상태 그대로 놔두어도 상관없지만 뭔가 깔끔해 보이지 않는다. 특히 나눗셈의 결과로 나오는 복소수의 실수부분과 허수부분이 어떤 값을 가지는지 알기가 무척 힘들다. 그러므로 우리는 분모를 실수로 만드는 과정을 추가해줄 것이다. 이 과정을 분모의 실수화라고 한다.

분모의 실수화

 분모의 실수화는 곱셈법칙 \( \left( a+b \right) \left( a-b \right) = a^{2}-b^{2} \)을 이용하여 진행한다. 이 곱셈공식을 이용하기 위해 분모에 해당되는 복소수의 켤레복소수를 분모와 분자에 각각 곱해준다. 예를 들어보자.

$$ \frac{ 7+11i }{ 5-3i } $$

 이 복소수의 분모를 실수로 만들기 위해서는 분모 \( 5-3i \)의 켤레복소수인 \( 5+3i \)를 분모 분자에 곱해주어야 한다.

$$ \begin{matrix} \frac{ 7+11i }{ 5-3i } &=& \frac{ \left( 7+11i \right) \color{Red}{ \left( 5+3i \right) } }{ \left( 5-3i \right) \color{Red}{ \left( 5+3i \right) } } \\ &=& \frac{ 35 +21i +55 +33i }{ 5^{2}-\left( 3i \right)^{2} } \\ &=& \frac{ 90 +54i }{ 25+9 } \\ &=& \frac{ 90 +54i }{ 34 } \\ &=& \frac{ 45 }{ 17 } +\frac{ 27 }{ 17 } i \end{matrix} $$

그러므로 이 복소수의 실수부분은 \( \frac{ 45 }{ 17 } \), 허수부분은 \( \frac{ 27 }{ 17 } \)이다.

 

 

 

수학을 공부하지 않는 대부분의 사람들에게는 믿기지 않게 보이는 일들이 있다.

-아르키메데스

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