대수(6)

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 복소수 역시 수이므로 복소수에 대하여 닫혀있는 연산이 있을 것이다. 본문에서는 복소수의 곱셈에 대하여 다룰 것이다.

복소수의 곱셈

 두 복소수 $z_1$, $z_2$에 대하여 두 복소수의 곱 $z_1{z}_2$를 구해보자. 복소수의 곱은 마치 허수단위 $i$를 미지수처럼 생각하여, 그리고 허수단위 $i$의 정의를 이용하여 계산한다. $z_1=a_1+b_{1}i$, $z_2=a_1+b_{2}i$라고 하면 두 복소수의 곱은 아래와 같이 계산한다.

$\begin{array}{ccc}{z}_1{z}_2& =& (a_1+b_{1}i)(a_2+b_{2}i)\\ & =& a_1\times a_2+a_1\times b_{2}i+b_{1}i\times a_2+b_{1}i\times b_{2}i\\ & =& a_1{a}_2+a_1{b}_{2}i+a_2{b}_{1}i+b_1{b}_2{i}^2\\ & =& a_1{a}_2+a_1{b}_{2}i+a_2{b}_{1}i-b_1{b}_2\\ & =& a_1{a}_2-b_1{b}_2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i\end{array}$

복소수의 곱셈의 연산법칙

 복소수에서 일어나는 곱셈 연산에 대해 다음 법칙이 성립한다.

교환법칙

 두 복소수 $z_1$, $z_2$에 대하여 $z_1{z}_2=z_2{z}_1$이다. 즉, 이 연산에서는 순서가 존재하지 않는다.

$z_1=a_1+b_{1}i$, $z_2=a_2+b_{2}i$라고 하면

$z_1{z}_2=a_1{a}_2-b_1{b}_2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i$,

$z_2{z}_1=a_2{a}_1-b_2{b}_1+(a_2{b}_1+a_1{b}_2)i$

이때, 실수의 곱셈에서 교환법칙이 성립하므로

$a_1{a}_2=a_2{a}_1$, $b_1{b}_2=b_2{b}_1$, $a_1{b}_2=b_2{a}_1$, $b_1{a}_2=a_2{b}_1$

$\therefore z_1{z}_2=z_2{z}_1$이 성립한다.

결합법칙

 세 복소수 $z_1$, $z_2$, $z_3$에 대하여 $z_1{z}_2{z}_3=\left(z_1{z}_2\right)z_3=z_1\left(z_2{z}_3\right)$이다. 즉, 이 연산에서는 순서가 존재하지 않는다.

$z_1=a_1+b_{1}i$, $z_2=a_2+b_{2}i$, $z_3=a_3+b_{3}i$라고 하면

$z_1{z}_2=a_1{a}_2-b_1{b}_2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i$,

$z_2{z}_3=a_2{a}_3-b_2{b}_3+(a_2{b}_3+a_3{b}_2)i$이므로

$\left(z_1{z}_2\right)z_3=a_1{a}_2{a}_3-a_3{b}_1{b}_2-a_1{b}_2{b}_3-a_2{b}_1{b}_3+(a_1{a}_3{b}_2+a_2{a}_3{b}_1+a_1{a}_2{b}_3-b_1{b}_2{b}_3)$,

$z_1\left(z_2{z}_3\right)=a_1{a}_2{a}_3-a_1{b}_2{b}_3-a_2{b}_1{b}_3-a_3{b}_1{b}_2+(a_2{a}_3{b}_1-b_1{b}_2{b}_3+a_1{a}_2{b}_3+a_1{a}_3{b}_2)i$

$\therefore z_1{z}_2{z}_3=\left(z_1{z}_2\right)z_3=z_1\left(z_2{z}_3\right)$가 성립한다.

분배법칙

 세 복소수 $z_1$, $z_2$, $z_3$에 대하여 $z_1(z_2+z_3)=z_1{z}_2+z_1{z}_3$이다.

$z_1=a_1+b_{1}i$, $z_2=a_2+b_{2}i$, $z_3=a_3+b_{3}i$라고 하면

 ① 좌변

$z_2+z_3=a_2+a_3+(b_2+b_3)i$이므로

$z_1(z_2+z_3)=a_1{a}_2+a_1{a}_3-b_1{b}_2-b_1{b}_3+(a_2{b}_{1}b+a_3{b}_1+a_1{b}_2+a_1{b}_3)i$

 ② 우변

$z_1{z}_2=a_1{a}_2-b_1{b}_2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i$,
$z_1{z}_3=a_1{a}_3-b_1{b}_3+(a_1{b}_3+a_3{b}_1)i$이므로

$\begin{array}{ccc}{z}_1{z}_2+z_1{z}_3& =& a_1{a}_2-b_1{b}_2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i\\ & & +a_1{a}_3-b_1{b}_3+(a_1{b}_3+a_3{b}_1)i\\ & =& a_1{a}_2+a_1{a}_3-b_1{b}_2-b_1{b}_3+(a_2{b}_{1}b+a_3{b}_1+a_1{b}_2+a_1{b}_3)i\end{array}$

$\therefore$ ①, ②에 의하여 $z_1(z_2+z_3)=z_1{z}_2+z_1{z}_3$가 성립한다.

 

 

 

더 이상 가정이란 없다. 우리는 계산한다. 그러나 이때 우리는 계산할 수 있다는 가정을 먼저 해야 한다.

-니체

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