집합과 명제(8)

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 많은 수학 개념들이 그렇듯이 집합 간에도 여러 가지 관계가 존재한다. 본문에서는 그중 집합 사이의 포함 관계에 대해 다루고자 한다.

부분집합

 두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A$의 모든 원소가 $B$에 속할 때, 집합 $A$가 집합 $B$에 포함된다고 하고, 이를 기호로 $A \subset B$로 나타낸다. 여기서 집합 $A$를 집합 $B$의 부분집합이라고 한다. 또한 집합 $A$가 집합 $B$의 부분집합이 아닐 때, 즉, 집합 $A$가 집합 $B$의 부분집합이 아닐 때, 이를 기호로 $A \not \subset B$이라고 한다.

예시

 모든 자연수를 원소로 가지는 집합 $N$은 모든 실수를 원소로 가지는 집합 $R$의 부분집합이다. 즉, $N \subset R$이다.

 $\left\{ a \text{, } b \text{, } c \right\} \subset \left\{ a \text{, } b \text{, } c \text{, } d \right\}$

부분집합의 성질

 임의의 세 집합 $A$, $B$, $C$에 대하여 다음 내용이 성립한다.

모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다. 즉, $A \subset A$

공집합 $\varnothing$의 부분집합은 $\varnothing$ 뿐이다.

공집합은 모든 집합의 부분집합이다. 즉, $\varnothing \subset A$

$A$가 $B$의 부분집합이고 $B$가 $C$의 부분집합이면 $A$는 $C$의 부분집합이다. 즉, $A \subset B$, $B \subset C$이면 $A \subset C$

서로 같은 집합

 이전 글^[각주:1]에서 서로 같은 집합을 정의했다. 본문에서 부분집합을 정의했으니 이를 바탕으로 집합 사이의 동치 관계를 다시 재정의해보자. 두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A \subset B$, $B \subset A$이면 두 집합 $A$, $B$는 서로 같다고 하고, 이를 기호로 $A = B$라고 한다. 또한 두 집합 $A$, $B$가 서로 같지 않을 때, 이를 기호로 $A \ne B$라고 한다.

진부분집합

 두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A \subset B$, $A \ne B$일 때, 집합 $A$를 집합 $B$의 진부분집합이라 한다. 다시 말해 진부분집합은 어떤 집합의 부분집합 중 자기 자신을 제외한 모든 부분집합을 의미한다.

 

 

 

수학은 인간정신의 자유로운 창조물이다.

-데데킨트

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1. [수학/고등학생을 위한 수학] - 집합과 명제(7)

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