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많은 수학 개념들이 그렇듯이 집합 간에도 여러 가지 관계가 존재한다. 본문에서는 그중 집합 사이의 포함 관계에 대해 다루고자 한다.
부분집합
두 집합 \( A \), \( B \)에 대하여 \( A \)의 모든 원소가 \( B \)에 속할 때, 집합 \( A \)가 집합 \( B \)에 포함된다고 하고, 이를 기호로 \( A \subset B \)로 나타낸다. 여기서 집합 \( A \)를 집합 \( B \)의 부분집합이라고 한다. 또한 집합 \( A \)가 집합 \( B \)의 부분집합이 아닐 때, 즉, 집합 \( A \)가 집합 \( B \)의 부분집합이 아닐 때, 이를 기호로 \( A \not \subset B \)이라고 한다.
예시
모든 자연수를 원소로 가지는 집합 \( N \)은 모든 실수를 원소로 가지는 집합 \( R \)의 부분집합이다. 즉, \( N \subset R \)이다.
\( \left\{ a \text{, } b \text{, } c \right\} \subset \left\{ a \text{, } b \text{, } c \text{, } d \right\} \)
부분집합의 성질
임의의 세 집합 \( A \), \( B \), \( C \)에 대하여 다음 내용이 성립한다.
| 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다. 즉, \( A \subset A \) |
| 공집합 \( \varnothing \)의 부분집합은 \( \varnothing \) 뿐이다. |
| 공집합은 모든 집합의 부분집합이다. 즉, \( \varnothing \subset A \) |
| \( A \)가 \( B \)의 부분집합이고 \( B \)가 \( C \)의 부분집합이면 \( A \)는 \( C \)의 부분집합이다. 즉, \( A \subset B \), \( B \subset C \)이면 \( A \subset C \) |
서로 같은 집합
이전 글1에서 서로 같은 집합을 정의했다. 본문에서 부분집합을 정의했으니 이를 바탕으로 집합 사이의 동치 관계를 다시 재정의해보자. 두 집합 \( A \), \( B \)에 대하여 \( A \subset B \), \( B \subset A \)이면 두 집합 \( A \), \( B \)는 서로 같다고 하고, 이를 기호로 \( A = B \)라고 한다. 또한 두 집합 \( A \), \( B \)가 서로 같지 않을 때, 이를 기호로 \( A \ne B \)라고 한다.
진부분집합
두 집합 \( A \), \( B \)에 대하여 \( A \subset B \), \( A \ne B \)일 때, 집합 \( A \)를 집합 \( B \)의 진부분집합이라 한다. 다시 말해 진부분집합은 어떤 집합의 부분집합 중 자기 자신을 제외한 모든 부분집합을 의미한다.
수학은 인간정신의 자유로운 창조물이다.
-데데킨트
