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수학/고등학생을 위한 수학

지수와 로그(10) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 지수에 의하여 정의된 로그는 아래의 성질을 가진다. 로그의 성질 -

\log_{a} 1 = 0

\log_{a} a = 1

a \neq 1

인 임의의 양수

a

\log_{a} 1 = 1

\log_{a} a = 1

a \neq 1

인 임의의 양수

a

a^{0} = 1

a^{1} = a

이므로 로그의 정의에 의하여

\log_{a} 1 = 0

\log_{a} a = 1

로그의 성질.. 더보기

지수와 로그(9) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전 글에서 지수를 이용하여 로그를 정의하였다. 이로 인해 로그는 지수법칙을 이용해 두 연산을 유도할 수 있다. 본문에서는 이 연산에 대해 알아볼 것이다. 로그의 합

a \neq 1

인 임의의 양수

a

와 임의의 두 양수

M

N

\log_{a} M + \log_{a} N = \log_{a} M N

밑이 같은 로그의 합은 진수의 곱으로 표현이 가능하다. 이는 지수법칙을 이용해 증명이 가능하다. 아래는 이 연산을 증명하는 과정이다.

a \neq 1

인 임의의 양수 \.. 더보기

지수와 로그(8) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 우리가 주로 다루는 수의 체계는 실수이므로 지수법칙 역시 임의의 실수 범위까지 확장시켜줄 필요가 있다. 임의의 양수

a

와 임의의 두 실수

m

n

에 대하여 다음 등식이 성립한다.

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}

지수법칙은 실수 범위의 지수에 대해서도 성립한다. 다만 이에 대한 증명은 고등학교 과정을 심하게 벗어나므로 본문에서는 다루지 않겠다.. 더보기

지수와 로그(7) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 지금까지 지수를 유리수 범위에서 정의하여보았다. 우리가 흔히 쓰는 수 체계는 실수이므로 지수 역시 실수의 범위에서 정의해보고자 한다. 지수 - 실수 실수를 나누면 크게 유리수와 무리수로 나눌 수 있다. 우리가 이미 유리수 범위에서의 지수는 정의했으므로 무리수 범위에서의 지수만을 정의해주면 된다. 아래의 예를 통해 알아보자.

2^{\sqrt{2}}

2^{\sqrt{2}}

의 값을 정의하기 위해서

\sqrt{2}

의 근사를 이용할 것이다.

\sqrt{2} = 1.41421356237 \dots

지수와 로그(6) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전 글에서 임의의 정수 범위까지 지수법칙을 확장했듯이 유리수 지수를 정의했으니 이 유리수 지수에서도 지수법칙이 성립하는지 알아봐야 한다. 본문에서는 유리수 범위에서 지수법칙이 성립하는지 알아볼 것이다. 지수법칙 -

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

임의의 양수

a

와 임의의 두 유리수

m

n

에 대하여 지수법칙

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

이 성립 임의의 네 정수

p

q

r

s

에 대하여 \(.. 더보기

지수와 로그(5) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전 글에서 지수를 임의의 정수 범위까지 확장해보았다. 본문에서는 유리수 범위에서의 지수를 정의할 것이다. 지수의 확장 - 유리수 지수 유리수 지수로의 확장은 거듭제곱근을 이용하는 것으로 시작된다. 먼저

x^{2} = 3^{4}

이라는 방정식을 보면, 이 방정식의 양수인 해를 구하면

x = 3^{2}

이 나온다. 또한 방정식

x^{3} = 3^{3}

의 실수인 해를 구하면

x = 3

이다. 이 두 방정식의 해는 다시 아래의 등식으로 표현할 수 있다. $$ x^{ 2 \times \frac{1}{.. 더보기

지수와 로그(4) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 우리는 흔히 큰 수에 대해 표현할 때 '천문학적인 수'라는 표현을 자주 사용한다. 그 말처럼 천문학에서는 지구와 달, 또는 태양계와 다른 항성계와의 거리 등 각 천체 간의 거리를 구하기 위해 매우 큰 수를 다룬다. 이러한 수는 값이 너무 커 계산을 함에 있어 매우 불편함을 초래하였다. 이러한 점을 해결하기 위해 이전에 없던 새로운 개념을 만들어 냈는데, 이것이 바로 '로그'이다. 로그의 정의 현대의 수학에서 로그(log, logarithm)는 다음과 같이 정의한다. 0과 1이 아닌 임의의 양수

a

와 임의의 실수 \( N.. 더보기

지수와 로그(3) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞선 글에서 지수법칙을 확장하기 위해 지수에 0과 음의 정수가 들어갈 때의 수를 정의하였다. 본문에서는 임의의 정수까지 확장된 지수에 대한 내용을 다시 정리해보고자 한다. 지수의 확장 - 0 지수에 0이 들어갈 경우, 항상 1이라는 값이 나온다. 0인 아닌 임의의 실수

a

a^{0} = 1

지수의 확장 - 음의 정수 지수에 음의 정수가 들어갈 경우, 그 밑의 역수를 취해 그 지수의 절댓값만큼 거듭제곱을 해준다. 0이 아닌 임의의 실수

a

n

에 대하여 $$ a^{-n} =.. 더보기

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