수학/고등학생을 위한 수학 썸네일형 리스트형 함수(12) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 우리가 다루는 유리함수는 '분모를 0으로 만들지 않는 모든 실수'를 정의역으로 하고 공역을 적당히 제한해주면 전단사함수가 된다. 그 말인즉슨 이 유리함수는 항상 역함수를 가지게 된다는 뜻이다. 본문에서는 유리함수의 역함수를 유도하고, 이 역함수를 구하는 방법을 공식화해볼 것이다. 역함수를 유도하는 과정은 역함수의 성질 중 \( \left( f \circ f^{-1} \right) = I \) ( \( I \)는 항등함수 )를 이용할 것이다. \( f(x) = \frac{k}{x-p}+q \) 꼴로 주어진 경우 유리함수가 \( f(.. 더보기 함수(11) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 유리함수의 식의 변형 앞서 유리함수를 표현하는 두 가지 함수식의 형태를 언급했다. 당연한 소리지만 한 유리함수의 함수식을 표현하는데 두 형식 모두 사용할 수 있다. 그러므로 한 형식이 주어졌을 때, 다른 형식으로의 전환이 빠르게 가능해야 한다. 본문에서는 이에 대하여 다룰 것이다. \( y=\frac{k}{x-p}+q \) 꼴로 주어진 경우 유리함수가 \( y=\frac{k}{x-p}+q \) 꼴로 주어진 경우, 아래 과정을 통하여 \( y=\frac{cx+d}{ax+b} \) 꼴로 변환할 수 있다. $$ \begin{matrix.. 더보기 함수(10) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 유리함수 유리함수는 유리식, 즉 분모에 다항식이 있는 함수를 말한다. 그림에 있는 유리함수는 특별히 그 그래프의 계형이 쌍곡선을 나타내는 함수이다. 고등학교 1학년 '수학'에서 이를 배우므로 아마도 고등학생들에게 유리함수가 뭐냐고 물으면 가장 먼저 떠오르는 함수일 것이다. 본문에서도 이 유리함수에 대하여 다룰 것이다. 유리함수의 표현 유리함수는 아래의 식으로 표현할 수 있다. $$ y-q = \frac{ k }{ x-p } \text{, } y = \frac{cx+d}{ax+b} $$ 이러한 유리함수의 그래프는 쌍곡선을 나타내고,.. 더보기 함수(9) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 다항함수 다항함수란 함수의 형태가 다항식으로 유도되는 함수이다. 그림에서 볼 수 있듯이 일차, 이차, 삼차함수는 모두 다항함수이다. 물론 상수함수 또한 다항함수이다. 다항식의 정의에 의하여 계수에 무리수와 허수를 포함하여 복소수가 들어가는 것은 상관이 없다. 다만 차수는 음이 아닌 정수를 제외한 복소수 내의 그 어떤 수도 될 수 없다. 다항함수의 형태 고등학교에서 다루는 다항함수 즉, 일변수 다항함수의 함수식은 아래와 같이 표현한다. $$ \sum_{ k=0 }^{ n }{ a_{n}x^{n} } \text{ } \left( \t.. 더보기 함수(8) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전에 다룬 함수는 대응관계에 따라 구분지어졌다. 그로 인해 이들은 수가 아닌 다른 것을 원소로 가지는 집합들을 가지고도 함수 관계를 만들어 줄 수 있었다. 그러나 본문에서 다룰 함수는 다르다. 본문에서 다룰 함수는 수를 원소로 가지는 집합에서만 정의할 수 있는 함수이다. 우함수 우함수는 함수 \( f \)의 정의역에 속한 모든 \( x \)에 대하여 \( f(x) = f(-x) \)를 만족하는 함수 \( f \)를 말한다. 우함수의 그래프를 좌표평면 상에 아래 그림처럼 나타낼 수 있다. 그림에서 볼 수 있듯이 좌표평면 상에서 우.. 더보기 함수(7) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 역함수는 어떤 함수가 있을 때 그 함수의 대응 관계를 역으로 뒤집어 만든 함수이다. 그러한 까닭에 역함수에는 몇 가지 성질이 있다. 역함수의 성질 1 - 역함수가 존재하기 위한 조건 함수가 되기 위한 조건은 먼저 대응 관계가 존재해야 하며, 그 대응 관계에서 정의역의 각 원소에 대응하는 공역의 원소가 유일해야 한다. 역함수 또한 함수이므로 이 조건은 동일하다. 그러므로 역함수는 본래의 함수의 각 함숫값에 대응되는 정의역의 원소가 유일해야 한다. 정의역의 원소가 유일하다라... 어딘가 익숙한 느낌이 들지 않는가? 맞다. 이러한 성질.. 더보기 함수(6) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 함수는 정의역의 각 원소에 대응하는 공역의 원소가 유일한 것이다. 그러므로 이를 역으로 생각하여 공역의 원소가 정의역의 원소에 대응되는 관계를 생각해볼 수 있고, 몇몇 특수한 경우에는 이러한 관계들이 곧 함수를 이룰 수 있다. 이러한 함수를 역함수라고 한다. 본문에서는 이러한 역함수의 정의에 대하여 다루고자 한다. 역함수 역함수를 정의하기 위해서는 먼저 하나의 함수가 필요하다. 본문에서는 함수 \( f \): \( X \to Y \)를 사용할 것이다. 이 함수 \( f \)의 정의역의 원소 x와 그 대응 관계에 있는 공역의 원소 .. 더보기 함수(5) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전에 함수라는 개념을 정의할 때 두 집합의 원소 간 대응 관계를 이용하여 정의했다. 그렇다면 세 집합 \( X \), \( Y \), \( Z \)에 대하여 두 함수 관계 \( X \to Y \), \( Y \to Z \)를 결합하여 \( X \to Y \to Z \)라는 새로운 함수를 만들고 어떻게 표현할 수 있을까? 이를 위해 합성함수라는 새로운 개념을 이용한다. 합성함수 합성함수는 둘 이상의 함수를 합성하여 만든 함수이다. 함수 \( f \): \( X \to Y \)에 대하여 함수 \( f \)의 치역 \( f(X) \).. 더보기 이전 1 ··· 6 7 8 9 10 11 12 ··· 22 다음
