함수(11)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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유리함수의 식의 변형

 앞서 유리함수를 표현하는 두 가지 함수식의 형태^[각주:1]를 언급했다. 당연한 소리지만 한 유리함수의 함수식을 표현하는데 두 형식 모두 사용할 수 있다. 그러므로 한 형식이 주어졌을 때, 다른 형식으로의 전환이 빠르게 가능해야 한다. 본문에서는 이에 대하여 다룰 것이다.

$y=\frac{k}{x-p}+q$ 꼴로 주어진 경우

 유리함수가 $y=\frac{k}{x-p}+q$ 꼴로 주어진 경우, 아래 과정을 통하여 $y=\frac{cx+d}{ax+b}$ 꼴로 변환할 수 있다.

$$\begin{matrix} \frac{k}{x-p}+q &=& \frac{k}{x-p}+\frac{ q \left( x-p \right) }{ x-p } \\ &=& \frac{ k +qx-pq }{ x-p } \\ &=& \frac{ qx+k-pq }{ x-p } \end{matrix}$$

$\therefore y = \frac{ qx+k-pq }{ x-p }$

 이 과정은 잘 쓰지 않는다. 이러한 꼴로 주어진 경우에 얻을 수 있는 정보가 다른 형식에 비하여 상대적으로 많기도 하며, 심지어 역함수로 바꾸는 과정 또한 이 형태에서 바꾸는 것이 훨씬 편하다. 그러므로 아래의 과정을 아는 것이 중요하다.

$y=\frac{cx+d}{ax+b}$ 꼴로 주어진 경우

 유리함수가 $y=\frac{cx+d}{ax+b}$ 꼴로 주어진 경우, 아래 과정을 통하여 $y=\frac{k}{x-p}+q$ 꼴로 변환할 수 있다.

$$\begin{matrix} \frac{cx+d}{ax+b} &=& \frac{ ax \times \frac{c}{a} +d }{ ax+b } \\ &=& \frac{ \frac{c}{a} \left( ax \color{red}{+b} \right) +d \color{red}{ -\frac{bc}{a} } }{ ax+b } \\ &=& \frac{ \frac{c}{a} \left( ax+b \right) }{ ax+b } +\frac{d-\frac{bc}{a}}{ax+b} \\ &=& \frac{c}{a} +\frac{d-\frac{bc}{a}}{ax+b} \\ &=& \frac{d-\frac{bc}{a}}{ax+b} +\frac{c}{a} \end{matrix}$$

$\therefore y = \frac{d-\frac{bc}{a}}{ax+b} +\frac{c}{a}$

 이 과정을 보면 위 과정하고 뭐가 다른지 모르겠다. 두 과정 모두 귀찮은 연산만 나열한 것이기에. 이 과정을 이용하면 단지 정보가 더 많은 형식으로 바꿀 수 있다는 이점만이 있을 뿐이다. 그러나 우리는 나머지 정리를 이용하면 이 과정 중 일부 연산 과정을 생략할 수 있다.

$y = \frac{cx+d}{ax+b}$에 대하여 $ax+b=f(x)$, $cx+d = g(x)$라고 할 때,

$g(x) = Q \times f(x) +R$을 만족하는 $Q$, $R$이 존재한다.

또한 $f(t) = 0$를 만족하는 $t$가 존재하므로 나머지 정리에 의하여 $R = g(t)$가 되고,

두 다항식 $f(x)$, $g(x)$는 모두 일차식이므로 $Q$는 두 다항식의 일차항의 계수비가 된다.

이때, $f(t)=0$을 만족하는 $t = -\frac{b}{a}$이므로

$R = d-\frac{bc}{a}$, $Q = \frac{c}{a}$

$\therefore y = \frac{d-\frac{bc}{a}}{ax+b} +\frac{c}{a}$

 이처럼 나머지 정리를 이용하면 유리함수를 다른 형식으로 변환하는 과정에서 잡다한 연산 과정을 생략할 수 있다. 물론 글만 봐서는 차이가 크게 느껴지지 않을 것이다. 다만 우리가 연산을 할 때는 이렇게 상세히 서술하지 않으므로 훨씬 많은 시간을 줄일 수 있다.

 

 

 

오직 수학만이 낡은 건물 위에 새로운 층을 세워 올린다.

-헤르만 한켈

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1. $y=\frac{k}{x-p}+q$, $y=\frac{cx+d}{ax+b}$ [본문으로]