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유리함수의 식의 변형
앞서 유리함수를 표현하는 두 가지 함수식의 형태1를 언급했다. 당연한 소리지만 한 유리함수의 함수식을 표현하는데 두 형식 모두 사용할 수 있다. 그러므로 한 형식이 주어졌을 때, 다른 형식으로의 전환이 빠르게 가능해야 한다. 본문에서는 이에 대하여 다룰 것이다.
\( y=\frac{k}{x-p}+q \) 꼴로 주어진 경우
유리함수가 \( y=\frac{k}{x-p}+q \) 꼴로 주어진 경우, 아래 과정을 통하여 \( y=\frac{cx+d}{ax+b} \) 꼴로 변환할 수 있다.
$$ \begin{matrix} \frac{k}{x-p}+q &=& \frac{k}{x-p}+\frac{ q \left( x-p \right) }{ x-p } \\ &=& \frac{ k +qx-pq }{ x-p } \\ &=& \frac{ qx+k-pq }{ x-p } \end{matrix} $$
\( \therefore y = \frac{ qx+k-pq }{ x-p } \)
이 과정은 잘 쓰지 않는다. 이러한 꼴로 주어진 경우에 얻을 수 있는 정보가 다른 형식에 비하여 상대적으로 많기도 하며, 심지어 역함수로 바꾸는 과정 또한 이 형태에서 바꾸는 것이 훨씬 편하다. 그러므로 아래의 과정을 아는 것이 중요하다.
\( y=\frac{cx+d}{ax+b} \) 꼴로 주어진 경우
유리함수가 \( y=\frac{cx+d}{ax+b} \) 꼴로 주어진 경우, 아래 과정을 통하여 \( y=\frac{k}{x-p}+q \) 꼴로 변환할 수 있다.
$$ \begin{matrix} \frac{cx+d}{ax+b} &=& \frac{ ax \times \frac{c}{a} +d }{ ax+b } \\ &=& \frac{ \frac{c}{a} \left( ax \color{red}{+b} \right) +d \color{red}{ -\frac{bc}{a} } }{ ax+b } \\ &=& \frac{ \frac{c}{a} \left( ax+b \right) }{ ax+b } +\frac{d-\frac{bc}{a}}{ax+b} \\ &=& \frac{c}{a} +\frac{d-\frac{bc}{a}}{ax+b} \\ &=& \frac{d-\frac{bc}{a}}{ax+b} +\frac{c}{a} \end{matrix} $$
\( \therefore y = \frac{d-\frac{bc}{a}}{ax+b} +\frac{c}{a} \)
이 과정을 보면 위 과정하고 뭐가 다른지 모르겠다. 두 과정 모두 귀찮은 연산만 나열한 것이기에. 이 과정을 이용하면 단지 정보가 더 많은 형식으로 바꿀 수 있다는 이점만이 있을 뿐이다. 그러나 우리는 나머지 정리를 이용하면 이 과정 중 일부 연산 과정을 생략할 수 있다.
\( y = \frac{cx+d}{ax+b} \)에 대하여 \( ax+b=f(x) \), \( cx+d = g(x) \)라고 할 때,
\( g(x) = Q \times f(x) +R \)을 만족하는 \( Q \), \( R \)이 존재한다.
또한 \( f(t) = 0 \)를 만족하는 \( t \)가 존재하므로 나머지 정리에 의하여 \( R = g(t) \)가 되고,
두 다항식 \( f(x) \), \( g(x) \)는 모두 일차식이므로 \( Q \)는 두 다항식의 일차항의 계수비가 된다.
이때, \( f(t)=0 \)을 만족하는 \( t = -\frac{b}{a} \)이므로
\( R = d-\frac{bc}{a} \), \( Q = \frac{c}{a} \)
\( \therefore y = \frac{d-\frac{bc}{a}}{ax+b} +\frac{c}{a} \)
이처럼 나머지 정리를 이용하면 유리함수를 다른 형식으로 변환하는 과정에서 잡다한 연산 과정을 생략할 수 있다. 물론 글만 봐서는 차이가 크게 느껴지지 않을 것이다. 다만 우리가 연산을 할 때는 이렇게 상세히 서술하지 않으므로 훨씬 많은 시간을 줄일 수 있다.
오직 수학만이 낡은 건물 위에 새로운 층을 세워 올린다.
-헤르만 한켈
- \( y=\frac{k}{x-p}+q \), \( y=\frac{cx+d}{ax+b} \) [본문으로]
