함수(12)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 우리가 다루는 유리함수는 '분모를 0으로 만들지 않는 모든 실수'를 정의역으로 하고 공역을 적당히 제한해주면 전단사함수가 된다. 그 말인즉슨 이 유리함수는 항상 역함수를 가지게 된다는 뜻이다. 본문에서는 유리함수의 역함수를 유도하고, 이 역함수를 구하는 방법을 공식화해볼 것이다. 역함수를 유도하는 과정은 역함수의 성질 중 $(f\circ f^{-1})=I$ ( $I$는 항등함수 )를 이용할 것이다.

$f(x)=\frac{k}{x-p}+q$ 꼴로 주어진 경우

 유리함수가 $f(x)=\frac{k}{x-p}+q$ 꼴로 주어진 경우, 아래 과정을 통해 역함수 $f^{-1}(x)$를 유도할 수 있다.

$$(f\circ f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))=\frac{k}{f^{-1}(x)-p}+q$$

이때, $(f\circ f^{-1})(x)=x$이므로 $\frac{k}{f^{-1}(x)-p}+q=x$

$$\frac{k}{f^{-1}(x)-p}=x-q$$

$$(f^{-1}(x)-p)(x-q)=k$$

$$f^{-1}(x)-p=\frac{k}{x-q}$$

$$\therefore f^{-1}(x)=\frac{k}{x-q}+p$$

 이러한 형식으로 나온 유리함수는 그냥 p, q의 자리만을 바꿔주면 그 함수의 역함수를 구할 수 있다.

$f(x)=\frac{cx+d}{ax+b}$ 꼴로 주어진 경우

 유리함수가 $f(x)=\frac{cx+d}{ax+b}$ 꼴로 주어진 경우, 아래 과정을 통해 역함수 $f^{-1}(x)$를 유도할 수 있다.

$$(f\circ f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))=\frac{c{f}^{-1}(x)+d}{a{f}^{-1}(x)+b}$$

이때, $(f\circ f^{-1})(x)=x$이므로 $\frac{c{f}^{-1}(x)+d}{a{f}^{-1}(x)+b}=x$

$$x(a{f}^{-1}(x)+b)=c{f}^{-1}(x)+d$$

$$ax{f}^{-1}(x)+bx=c{f}^{-1}(x)+d$$

$$ax{f}^{-1}(x)-c{f}^{-1}(x)=-bx+d$$

$$(ax-c)f^{-1}(x)=-bx+d$$

$$\therefore f^{-1}(x)=\frac{-bx+d}{ax-c}$$

 이러한 형식으로 나온 유리함수는 b, c의 자리를 바꾼 다음 b, c에 (-1)을 곱해주면 그 함수의 역함수를 구할 수 있다.

 

 

 

수학은 최고의 결정권자이다. 일단 확정되면 더 이상의 항소는 없다.

-단치히

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