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우리가 다루는 유리함수는 '분모를 0으로 만들지 않는 모든 실수'를 정의역으로 하고 공역을 적당히 제한해주면 전단사함수가 된다. 그 말인즉슨 이 유리함수는 항상 역함수를 가지게 된다는 뜻이다. 본문에서는 유리함수의 역함수를 유도하고, 이 역함수를 구하는 방법을 공식화해볼 것이다. 역함수를 유도하는 과정은 역함수의 성질 중 \( \left( f \circ f^{-1} \right) = I \) ( \( I \)는 항등함수 )를 이용할 것이다.
\( f(x) = \frac{k}{x-p}+q \) 꼴로 주어진 경우
유리함수가 \( f(x) = \frac{k}{x-p}+q \) 꼴로 주어진 경우, 아래 과정을 통해 역함수 \( f^{-1}(x) \)를 유도할 수 있다.
$$ \left( f \circ f^{-1} \right)(x) = f \left( f^{-1}(x) \right) = \frac{k}{f^{-1}(x)-p}+q $$
이때, \( \left( f \circ f^{-1} \right)(x) = x \)이므로 \( \frac{k}{f^{-1}(x)-p}+q = x \)
$$ \frac{k}{f^{-1}(x)-p} = x-q $$
$$ \left( f^{-1}(x)-p \right) \left( x-q \right) = k $$
$$ f^{-1}(x)-p = \frac{k}{x-q} $$
$$ \therefore f^{-1}(x) = \frac{k}{x-q}+p $$
이러한 형식으로 나온 유리함수는 그냥 p, q의 자리만을 바꿔주면 그 함수의 역함수를 구할 수 있다.
\( f(x) = \frac{ cx+d }{ ax+b } \) 꼴로 주어진 경우
유리함수가 \( f(x) = \frac{ cx+d }{ ax+b } \) 꼴로 주어진 경우, 아래 과정을 통해 역함수 \( f^{-1}(x) \)를 유도할 수 있다.
$$ \left( f \circ f^{-1} \right)(x) = f \left( f^{-1}(x) \right) = \frac{ c f^{-1}(x)+d }{ a f^{-1}(x)+b } $$
이때, \( \left( f \circ f^{-1} \right)(x) = x \)이므로 \( \frac{ c f^{-1}(x)+d }{ a f^{-1}(x)+b } = x \)
$$ x \left( a f^{-1}(x)+b \right) = c f^{-1}(x)+d $$
$$ ax f^{-1}(x) +bx = c f^{-1}(x) +d $$
$$ ax f^{-1}(x) -c f^{-1}(x) = -bx +d $$
$$ \left( ax-c \right) f^{-1}(x) = -bx +d $$
$$ \therefore f^{-1}(x) = \frac{ -bx +d }{ ax-c } $$
이러한 형식으로 나온 유리함수는 b, c의 자리를 바꾼 다음 b, c에 (-1)을 곱해주면 그 함수의 역함수를 구할 수 있다.
수학은 최고의 결정권자이다. 일단 확정되면 더 이상의 항소는 없다.
-단치히
