수학/고등학생을 위한 수학 썸네일형 리스트형 미분과 적분(4) 학생들이 극한값에 대해 가지고 있는 가장 큰 오개념은 무엇일까? 미적분학(calculus)을 뉴턴과 라이프니츠가 만든 이후 수학자들은 미분이라는 연산법을 얻게 되었다. 미분은 당시 너무나 편리한 연산법이었고, 이에 수학자들은 미분을 남용하기 시작했다. 그렇게 사용하는 동안 극한에 대한 엄밀한 정의가 이뤄지지 않았으나 당시는 명제의 참과 거짓을 판별하는 것에 있어 직관으로 모든 명제가 판별이 가능하다 믿었기에 크게 신경을 쓰지 않았던 것 같다. 이후 엄밀함에 대한 논의가 진행되며 몇몇 수학자들은 미적분을 맹렬히 비판하기 시작했다. 이러한 논의는 코시와 칼 바이어슈트라스에 의해 극한이 엄밀하게 정의되며 끝이 난다. 이러한 논의는 학생들이 가지는 극한에 대한 오개념을 가지는 원인과 유사하다고 본다. 학생들은 .. 더보기 미분과 적분(3) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 이전 글에서 극한을 정의하고 극한의 성질에 대하여 알아보았다. 극한의 성질이 성립하기 위한 선행 조건이 있었다. 바로 극한값이 존재하는 것이다. 그렇다면 이러한 의문이 생길 수 있다. 극한값은 항상 존재하는 것일까? 그렇지 않다면 극한값이 존재하기 위한 조건은 무엇일까? 아래의 그래프를 보면서 살펴보자 우극한과 좌극한 위 그래프의 함수식은 다음과 같다 $$ f(x) = \begin{cases} 1 & \left( x > 0 \right) \\ 0 & \left( x \le 0 \right) \end{cases} $$ 위 그림에서 .. 더보기 미분과 적분(2) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 고등학교에서는 '수학II'와 '미적분' 두 과목에서 극한에 대한 개념을 배운다. 어떤 변수가 특정한 값에 '가까워'지거나 '한없이 커지는' 등 '변화'가 일어날 때, 주어진 '함수' 또는 '수열'이 어떠한 '값'에 '가까워'지거나 '한없이 커지는' 등 그 '값의 변화'를 나타내는 것을 '극한'이라고 배운다. 그러나 극한은 '무한'을 다루기에 극한을 사람의 언어로 표현하다보니 상당한 오개념이 잡히는 경우도 있다. 이 때문에 해석학에서는 극한을 '엡실론-델타 논법'으로 정의한다. 하지만 이러한 방식의 정의는 고등학생들이 익숙하지 않고.. 더보기 미분과 적분(1) 더보기 서론 시작하는 글 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(1) 극한 극한의 정의, 극한의 성질 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(2) 우극한, 좌극한, 함수의 연속성 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(3) 중간값 정리, 사잇값 정리, 불차노 정리, 홀수차 실계수 방정식의 근의 존재성 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(14) 극한값에 대한 오개념 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(4) 수열의 극한, 진동 발산 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(5) 극한의 계산 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(6) 수열의 극한, 등비수열의 극한, 등비수열의 수렴 조건 [수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(7) 자연상수 e [.. 더보기 원의 성질(2) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 새창으로 열기 - [목차] 원의 성질 - 고등학생을 위한 수학 이전 포스팅에서는 원과 원주각에 대하여 알아보았다. 여기에서는 좌표평면에서 원을 표현하는 방법에 대하여 알아볼 것이다. 과거부터 무언가를 정의하고 표현하는데 힘쓴 사람들이 많이 있었다. 도형 또한 마찬가지로 사람들의 언어와 수학적 용어들을 통해 표현되어 왔다. 처음에는 도형을 그리고 각 도형들의 성질을 이용하여 다른 여러 성질들을 증명하였다. 그러나 이는 각 도형간의 관계를 표현하는데 있어서 불편함이 있었고, 이후 한 철학자가 도형을 표현할 수 있는 새로운 방법을 고안.. 더보기 원의 성질(1) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고바랍니다. 만일 수식이 깨져보일 경우 데스크탑 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 새창으로 열기 - [목차] 원의 성질 - 고등학생을 위한 수학 들어가며... 2015 개정 교육과정으로 수학을 배우는 학생들은 이전 교육과정과 비교하였을 때 상당히 많은 개념 및 내용을 제외하고 배운다. 추가되는 부분 또한 물론 있지만 이보단 제외되거나 학습 과정의 순서가 바뀌어 많은 수학적 개념이 빈약해질 수 밖에 없다(이는 필자의 개인적 생각입니다.). 고등학교에서 이수가능한 수학 중 미적분을 예로 들어보자. 미적분을 공부하다보면 어떤 도형에 대한 정보를 그림과 함께 주고, 이를 이용해서 푸는 문제가 많다. 그 중에서도 삼각함수의.. 더보기 [공식] 수능에서 도움되는 공식 ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 수능에서 도움되는 공식은 대체로 내신에서도 도움되므로 밑의 공식들은 가능하면 알아두었으면 한다. 관련 내용은 추후 포스팅할 예정이다. 교과 내 원과 비례 $$\angle{CDP} = \angle{DEP}$$ $$\overline{PA} \times \overline{PB} = \overline{PC} \times \overline{PE}$$ $$\overline{PC} = \overline{PA} = \overline{PB}일때,$$ $$\overline{PD}^{2} = \overline{PC} \times \overline{P.. 더보기 [서론] 고등학생을 위한 수학 현재 한국의 많은 고등학생은 치열한 입시 경쟁(수시든 정시든)을 통해 대학에 입학한다. 그렇기에 이들이 '수학 공부'를 한다는 것은 필자가 전하고 싶은 '수학 공부'와는 차이가 있다. 필자는 중학생 시절 수학에 대한 흥미를 얻을 수 있었기에, 재미를 얻을 수 있었기에 이후에도 계속 수학을 공부해올 수 있었다. 그러나 이들(특히 일반계고, 자사고)의 '수학 공부'는 대입을 위해 '각 유형별로 주어진 문제를 풀어내는 능력의 상향을 기대하는 것'이 주를 이룬다. '어찌 되었든 일단 대학은 가야한다'는 사회분위기 때문에 더 그런 것 같다. 그렇다면 이들에게 수학에 대한 흥미를 전달하려면 어떻게 내용을 구성해야할까? 아마도 상당히 고민해야할 것이고, 이 글을 쓰는 지금도 역시 고민 중이다. 글의 구성에 관한 기본.. 더보기 이전 1 ··· 19 20 21 22 다음
