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수학/고등학생을 위한 수학

미분과 적분(12) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 함수의 특정한 위치에서 미분계수를 정의하고 구하는 방법에 대해 알아보았다. 이때 미분계수 또한 정의역의 어떤 값이 다른 집합의 어떤 값을 가지는 함수 관계라고 볼 수 있음을 알 수 있다. 이와 같이 함수의 미분계수를 함수값으로 가지는 함수를 도함수라고 한다. 지금부터 이 도함수를 정의해보자. 먼저 x=a에서 함수 f(x)의 미분계수의 정의는 다음과 같다.

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

여기서 미분계수 f'(a)는 a에서 정의된 함수값이.. 더보기

미분과 적분(11) 에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 미분계수가 존재한다는 말은 미분가능하다는 말과 같다. 다음 식을 보자.

f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

이전 글에서 다루었듯이 미분계수는 위와 같이 정의된다. 이 정의에 의해 미분계수가 존재하는 함수는 다음의 성질을 만족한다. 함수 f(x)가 x=a에서 미분가능할 때 함수 f(x)는 x=a에서 연속이다. 증명 $$ \text{함수 } f(x) \text{가 } x=a \text{에서 미분가능할 때 } f^{\prime}(a) = L \text.. 더보기

미분과 적분(10) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 지금까지 극한이 무엇인지, 어떻게 극한을 계산하는지에 대해 알아보았다. 지금부터는 미분에 대해 알아볼 것이다. 미분이란 변수에 따라 변화하는 어떤 상태(또는 양)가 순간적으로 변화하는 정도, 즉 순간적인 변화율을 알아보기 위해 사용하는 계산법이다. 이러한 순간적인 변화율을 알아보기 위해 극한을 이용한다. 다음 그림을 보며 변화율에 대해 알아보자. 변화율 변화율은 평균변화율과 순간변화율 두 가지로 나눌 수 있다. 평균변화율과 순간변화율은 다음과 같이 정의한다. 평균변화율 $$ \text{닫힌구간 } [a \text{, } b] \t.. 더보기

미분과 적분(9) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 급수에 대해 알아보았다. 여기에서는 (내신이든 모의고사든)시험에 자주 나오는 '무한급수'에 대해 다룰 것이다. 바로 '무한등비급수'이다. 먼저 급수의 수렴에 대해 알아보자. 이전에 '절대수렴'이라는 용어가 쓰이는 것을 보았을 것이다. 이에 대해 아는 독자들 또한 물론 있겠지만 대부분의 독자들은 모르리라 본다. 수렴하는 급수는 두가지로 나눌 수 있다. 바로 '절대수렴'과 '조건부수렴'이다. 간단하게 설명하면 급수의 항의 순서를 바꾸었을 때 수렴값이 달라지면 조건부수렴하는 급수이고, 항의 순서를 바꾸어도 수렴값이 달라지지 않을 .. 더보기

미분과 적분(8) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞에서 등비수열의 극한, 수렴조건에 대해 알아 보았다. 여기서는 등비급수에 대해 알아보기 앞서 급수에 대하여 알아보겠다. 수열을 배우고 나면 수열의 합을 배운다. 어떤 수열을 무한히 더하면 어떠한 값에 가까워질까? 먼저 수열을 무한히 더한다는 것은 할 수 있는 일이 아니다. 그래서 수학자들은 이 무한히 더하는 것을 다른 방식으로 접근한다. 어떤 수열을 초항부터 적당한 항까지 더한 다음 극한을 취하는 방법을 사용한다. 이때 초항부터 적당한 항까지 더한 것을 부분합이라고 한다. 또한 부분합에 극한을 취한 것을 급수라고 한다. 예를 보.. 더보기

미분과 적분(7) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 극한을 계산하는 방법에 대해 알아보았다. 수열의 극한 또한 계산법이 다를 바 없다. 그러나 수열이 항에 따라 다른 수열을 따르는 수열일 경우 각 항의 극한을 계산한 후 각 항의 극한값이 모두 동일하면 극한이 그 값으로 수렴하는 것이고, 극한값이 적어도 둘이 서로 다를 경우 극한은 발산한다.

a_{2 n - 1} = 2^{- n}, a_{2 n} = 4^{- n + 6} 일때,

lim_{n \to \infty} a_{2 n - 1} = lim_{n \to \infty} a_{2 n} = 0

미분과 적분(6) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. x가 어떤 값에 한없이 가까워질 때의 극한의 계산

대입했을 때 \frac{b}{a}, a \neq 0 인 경우

이 경우에는 대입한 값이 곧 극한값이 된다.

lim_{x \to 3} (x^{2} + 7) = 16

lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x + 1)} = 0

그러나 몇 가지 경우는 이 방법으로 극한값을 구할 수 없다. $$ \text{대입했을 때 } { {a} .. 더보기

미분과 적분(5) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞에서 함수의 극한에 대하여 알아보았다. 처음에 나온 내용을 기억해보자. '함수' 뿐만 아니라 '수열' 또한 극한이 있다고 하였다. 수열은 자연수 집합에서 정의된 함수로 볼 수 있다. 그러나 자연수 집합에서 정의되기에 수열의 극한에서 n을 특정한 값에 한없이 가까워질 때의 극한을 구하는 것은 의미가 없다. 그래서 수열의 극한에서는 n이 무한히 커지는 경우의 극한을 조사한다. 함수의 극한이든 수열의 극한이든 극한은 크게 발산과 수렴으로 나뉘어지며, 발산은 진동하는 것과 진동하지 않는 것으로 나뉜다. 이전 글에서 수렴과 발산이 무엇인.. 더보기

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