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수학/고등학생을 위한 수학

미분과 적분(36) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 미분계수의 정의를 다루며 적당한 조건에서 미분계수는 접선의 기울기가 됨을 언급했다. 이를 이용해 접선의 방정식을 구하는 방법에 대해 알아보자. 접선의 방정식 미분가능한 함수 f(x) 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

y - f (t) = f^{'} (t) (x - t)

함수 f(x)의 x=t에서의 미분계수 f'(t)는 다음과 같이 정의된다.

f^{'} (t) = lim_{x \to t} \frac{f (x) - f (t)}{x - t}

이 식.. 더보기

미분과 적분(35) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞에서 정적분을 주제로 할 때 미적분학의 제2 기본정리를 이용하여 정적분의 값을 계산하는 방법에 대해 알아보았다. 여기서는 정적분의 정의 방법을 알아볼 것이다. 고등학교에서는 구분구적법이라 불리는 방법을 통해 정적분을 정의한다. 이에 대한 다른 표현으로는 리만적분, 급수와 정적분의 관계 등이 있다. 먼저 구분구적법에 대해 알아보자. 구분구적법 구분구적법은 도형의 넓이를 구하기 위해 고안된 방법이다. 구분구적법은 위 그림처럼 넓이를 구하고 싶은 도형 A가 있을 때 쉽게 넓이를 구할 수 있는 적당한 단위도형으로 이루어진 평면에서 도형.. 더보기

미분과 적분(34) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 치환적분법에 대해 다루었다. 여기서는 부분적분법에 대해 다룰 것이다. 부분적분법 또한 부정적분의 정의만을 가지고 적분을 하기 힘들어 만들어진 적분법이다. 앞서 다룬 치환적분법은 합성함수의 미분법에서 유도된 적분법이다. 그럼 부분벅분법은 어디서 유도되었을까? 답은 곱의 미분법이다. 다음은 부분적분법의 유도과정이다. 부분적분법의 유도

h^{'} (x) = f^{'} (x) g (x) \to h (x) = f (x) g (x) - \int f (x) g^{'} (x) d x

미분과 적분(33) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 부정적분의 정의, 여러가지 함수의 부정적분을 다루었다. 그때에는 부정적분을 구하는 방법으로 부정적분의 정의를 이용하였다. 그러나 부정적분의 정의만을 이용해 부정적분을 구하는 것은 빨리 보이지 않는 이상 매우 비효율적이다. 그래서 또 다른 적분법을 사용한다. 여기서 다룰 적분법은 치환적분법이다. 치환적분법은 합성함수의 미분으로부터 유도된다. 다음은 치환적분법의 유도과정이다. 치환적분법 유도 $$ h^{\prime}(x) = f^{\prime}\left( g(x) \right)g^{\prime}(x) \to h(x) = f\le.. 더보기

미분과 적분(32) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 지금까지 다양한 함수의 부정적분에 대해 알아보았다. 부정적분을 구하는 것에서 '적분을 하다'라는 용어를 자주 사용했다. 이 '적분을 하다'는 주로 두 가지 의미로 사용이 된다. 이 두 의미는 '부정적분을 구하다'와 '정적분을 하다'인데 주로 후자의 의미를 사용한다. 이유는 이전에 다루었듯이 과거에 정적분을 먼저 사용했고, 이후에 부정적분이라는 개념을 만들었기 때문이다. 여기서는 정적분과 부정적분의 관계에 대해 알아볼 것이다. 정적분 정적분은 주어진 구간에서 함수의 그래프로 나타내어진 넓이를 구하는 방법이다. 닫힌 구간 [a, b].. 더보기

미분과 적분(31) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 삼각함수의 부정적분은 6가지 공식이 있다. 이 6가지의 부정적분은 모두 부정적분의 정의에서부터 도출되는 식이다. 다음은 삼각함수의 부정적분 6가지이다. 삼각함수의 부정적분

① f^{'} (x) = \sin x \to f (x) = - \cos x + C (C 는 적분상수)

② f^{'} (x) = \cos x \to f (x) = \sin x + C (C 는 적분상수)

$$ \text{③ } f^{\p.. 더보기

미분과 적분(30) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 지수함수와 로그함수의 부정적분에 대해 알아보자. 지수함수의 부정적분 다음은 지수함수의 부정적분이다.

f^{'} (x) = e^{x} \to f (x) = e^{x} + C (C 는 적분상수)

f^{'} (x) = a^{x} \to f (x) = \frac{1}{\ln a} a^{x} + C (C 는 적분상수)

지수함수를 미분하면 형태가 거의 변하지 않는다. 지수함수의 부정적분 또한 형태가 크게 변하지 않는다. 다음은 밑이 .. 더보기

미분과 적분(29) ※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다. 앞서 부정적분이 무엇인지 알아보았다. 이번 글에서는 적분의 성질과 n차 다항식의 부정적분에 대해 다룰 것이다. 적분의 성질 적분도 미분과 마찬가지로 몇 가지 성질을 가진다. 미분과 마찬가지로 덧셈에 대해서는 연산이 자유롭지만 곱셈에 대해서는 자유롭지 않다. 함수 f(x), g(x)가 적분가능할 때, $$ \int f(x)\, \operatorname{d}\!x \pm \int f(x)\, \operatorname{d}\!x = \int {\left\{ f(x) \pm g(x) \right\}}\, \operatorname{d}\!.. 더보기

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