미분과 적분(33)

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 앞서 부정적분의 정의, 여러가지 함수의 부정적분을 다루었다. 그때에는 부정적분을 구하는 방법으로 부정적분의 정의를 이용하였다. 그러나 부정적분의 정의만을 이용해 부정적분을 구하는 것은 빨리 보이지 않는 이상 매우 비효율적이다. 그래서 또 다른 적분법을 사용한다. 여기서 다룰 적분법은 치환적분법이다. 치환적분법은 합성함수의 미분으로부터 유도된다. 다음은 치환적분법의 유도과정이다.

치환적분법 유도

$$ h^{\prime}(x) = f^{\prime}\left( g(x) \right)g^{\prime}(x) \to h(x) = f\left( g(x) \right) +C \left( C \text{는 적분상수} \right)
$$

$$ \left\{ f\left( g(x) \right) \right\}^{\prime} = f^{\prime}\left( g(x) \right)g^{\prime} $$

$$ f^{\prime}\left( g(x) \right)g^{\prime} = \left\{ f\left( g(x) \right) \right\}^{\prime} $$

양변을 x에 대해 적분하면

$$ \int { f^{\prime}\left( g(x) \right)g^{\prime}(x) }\, \operatorname{d}\!x = f\left( g(x) \right) +C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

이때 t=g(x)라 두면

$$ { {\operatorname{d}\!t} \over {\operatorname{d}\!x} }=g^{\prime}(x) \text{이므로} $$

$$ \int { f^{\prime}\left( g(x) \right)g^{\prime}(x) }\, \operatorname{d}\!x = \int { f^{\prime}\left( t \right) }\, \operatorname{d}\!t = f\left( t \right) +C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

정적분에서의 치환적분법

 위의 적분을 아랫끝이 a, 윗끝이 b인 정적분으로 서술하면 다음과 같다.

닫힌 구간[a, b]에서 x에 대해 정적분하면

미적분학의 제2 기본정리에 의하여

$$ \int_{a}^{b} { f^{\prime}\left( g(x) \right)g^{\prime}(x) }\, \operatorname{d}\!x = f\left( g(b) \right) -f\left( g(a) \right) $$

이때 t=g(x)라 두면 닫힌 구간 [a, b]에서 t의 구간은 닫힌 구간 [g(a), g(b)]이고,

$$ { {\operatorname{d}\!t} \over {\operatorname{d}\!x} }=g^{\prime}(x) \text{이므로} $$

$$ \int_{a}^{b} { f^{\prime}\left( g(x) \right)g^{\prime}(x) }\, \operatorname{d}\!x = \int_{g(a)}^{g(a)} { f^{\prime}\left( t \right) }\, \operatorname{d}\!t = f\left( g(b) \right) -f\left( g(a) \right) $$

 이러한 치환적분법을 이용하면 합성이 되어 있어 부정적분이 잘보이지 않거나, 부정적분을 바로 도출하기 힘들어 정적분이 어려울 때, 조금 더 수월하게 부정적분을 구하거나 정적분의 값을 구할 수 있다. 치환적분법을 활용하여 만들어진 특수한 경우의 적분법은 이후에 다룰 것이다. 다음에 다룰 주제는 부분적분법이다.

 

 

 

수학은 우주만큼이나 무한한데, 수학적 이상을 펼치는 데에는 우주도 너무 좁아 보인다. 수학의 가능성은 천문학자의 눈길 속에서 영원히 북적거리며 점증하고 있는 세계들만큼 무한하다.

-제임스 실베스터

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