미분과 적분(35)

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 앞에서 정적분을 주제로 할 때 미적분학의 제2 기본정리를 이용하여 정적분의 값을 계산하는 방법에 대해 알아보았다. 여기서는 정적분의 정의 방법을 알아볼 것이다. 고등학교에서는 구분구적법이라 불리는 방법을 통해 정적분을 정의한다. 이에 대한 다른 표현으로는 리만적분, 급수와 정적분의 관계 등이 있다. 먼저 구분구적법에 대해 알아보자.

구분구적법

 구분구적법은 도형의 넓이를 구하기 위해 고안된 방법이다. 구분구적법은 위 그림처럼 넓이를 구하고 싶은 도형 A가 있을 때 쉽게 넓이를 구할 수 있는 적당한 단위도형^[각주:1]으로 이루어진 평면에서 도형 A 내부에 도형 A를 넘어가진 않으면서 최대한 많이 채웠을 때의 넓이와 단위도형으로 이루어진 도형이 도형 A를 빈틈없이 채우면서 도형 A보다 약간 커지게 채웠을 때의 넓이 사이에 도형 A의 넓이가 존재한다는 원리를 이용한다. 이때, 단위도형의 넓이가 작아질수록 도형 A와 단위도형으로 이루어진 도형의 넓이의 오차는 작아지게 되고, 극한을 취해주면 같아지게 된다. 즉, 구분구적법의 기본적인 원리는 샌드위치 정리이다. 정적분 또한 그래프 아래의 넓이를 구하는 것으로 생각할 수 있으므로 구분구적법을 이용하면 정적분을 정의할 수 있다. 다음은 구분구적법을 이용한 정적분의 정의이다.

넓이가 S인 도형의 넓이를 구할 때, 평면을 쪼갠 단위 도형의 개수를 n, 단위도형으로 만든 도형의 넓이 중 큰 값을 M_{n}, 작은 값을 m_{n}이라 하면 다음 부등식이 성립한다.

$$ m_{n} \le S \le M_{n} $$

구분구적법을 통한 정적분의 정의

$$ \int^{b}_{a} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x = \lim_{n \to \infty} {{ {b-a} \over {n} } \sum_{k=1}^{n} {f \left(a+ {{ \left( b-a \right) k } \over {n}} \right) } } $$

 

$$ f(x) = -{ {1} \over {10} }x^{4} +{ {2} \over {5} }x^{3} +2 $$

 위 그림과 같이 적당한 함수 y=f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 존재할 때 구분구적법을 통해 정적분을 정의해보자.

먼저 구간의 길이를 적당히 분할하자. 여기서는 간단히 구간의 길이 b-a를 n등분하자.

$$ { {b-a} \over {n} } \text{, } a = a_{0} \text{, } b = a_{n} $$

적당히 나눈 구간의 길이 하나하나를 변으로 하여 각 함숫값을 높이로 하는 직사각형을 만들자. 이때, 다음의 두 경우로 나눈다.

• 좌 - 적당히 나눈 구간에서의 함수의 그래프 아래의 넓이가 직사각형의 넓이보다 작은 경우
• 우 - 적당히 나눈 구간에서의 함수의 그래프 아래의 넓이가 직사각형의 넓이보다 큰 경우

이때, 구간의 길이를 n등분 하였으므로 다음 등식이 성립한다.

$$ { {b-a} \over {n} } = a_{k}-a_{k-1} \left( k = 1 \text{, } 2 \text{, } 3 \text{, } \cdots \text{, } n-1 \text{, } n \right) $$

따라서 a_{k}는 등차수열이며, 다음 등식이 성립한다.

$$ a_{k} = a_{k-1}+{ {b-a} \over {n} } $$

$$ a_{k} = a+{ {(b-a)k} \over {n} } $$

여기서 만든 직사각형의 높이를 식으로 표현하면 다음과 같다.

$$ f\left( a_{k} \right)\text{, } f\left( a_{k+1} \right) $$

이를 이용해 직사각형의 넓이를 구하면

$$ { {b-a} \over {n} } f\left( a_{k} \right) \text{, } { {b-a} \over {n} } f\left( a_{k+1} \right) $$

지금까지 직사각형의 넓이의 일반항을 구했다. 이제 이 직사각형의 넓이를 모두 합쳐보자.

$$ \sum^{n}_{k=1}{ { {b-a} \over {n} } f\left( a_{k} \right) } \text{, } \sum^{n-1}_{k=0}{ { {b-a} \over {n} } f\left( a_{k+1} \right) } $$

정적분 값을 S라 할 때, 위 수열과 S의 관계를 부등식으로 나타내면 다음과 같다.

$$ \sum^{n}_{k=1}{ { {b-a} \over {n} } f\left( a_{k} \right) } \le S \le \sum^{n-1}_{k=0}{ { {b-a} \over {n} } f\left( a_{k+1} \right) } $$

$$ S = \int^{b}_{a} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x $$

이 부등식에 n→∞인 극한을 취하면

$$ \lim_{n \to \infty}{ \sum^{n}_{k=1}{ { {b-a} \over {n} } f\left( a_{k} \right) } } \le S \le \lim_{n \to \infty}{ \sum^{n-1}_{k=0}{ { {b-a} \over {n} } f\left( a_{k+1} \right) } } $$

$$ \text{이때, } \lim_{n \to \infty}{ \sum^{n}_{k=1}{ { {b-a} \over {n} } f\left( a_{k} \right) } } = \lim_{n \to \infty}{ \sum^{n-1}_{k=0}{ { {b-a} \over {n} } f\left( a_{k+1} \right) } } \text{이므로} $$

$$ \int^{b}_{a} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x = \lim_{n \to \infty}{ \sum^{n}_{k=1}{ { {b-a} \over {n} } f\left( a_{k} \right) } } = \lim_{n \to \infty} {{ {b-a} \over {n} } \sum_{k=1}^{n} {f \left(a+ {{ \left( b-a \right) k } \over {n}} \right) } } $$

 이러한 구분구적법은 어떻게 활용할 수 있을까? 개념적인 부분은 합답형 문제를 풀이하는데 주로 사용하였다. 그러나 급수를 정적분으로 계산하는 것은 다음 식을 상황에 따라 적절히 이용한다.

구분구적법의 활용

구분구적법은 다음 3가지 식으로 주로 사용한다.

$$ \lim_{n \to \infty} {{ {b-a} \over {n} } \sum_{k=1}^{n} {f \left(a+ {{ \left( b-a \right) k } \over {n}} \right) } } = \int_{a}^{b} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x $$

 이 식은 정적분을 표현할 때 일반적으로 사용 가능하다. 아래 두 식도 이 식을 변형하여 만들 수 있다. 물론 이 식을 아래 두 식의 형태로 고치는 것도 가능하다.

$$ \lim_{n \to \infty} {{ {1} \over {n} } \sum_{k=1}^{n} {f \left( { {k} \over {n} } \right) } } = \int_{0}^{1} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x $$

 이 식은 문제를 풀 때 식을 외우기 싫을 경우 사용하면 편하다. 1/n을 dx로, k/n를 x로 치환한 후 아랫끝이 0, 윗끝이 1인 정적분으로 계산하면 된다. 개인적으로는 대부분의 구분구적법을 이용하는 문제를 풀 때 이 식을 이용했던 것 같다.

$$ \lim_{n \to \infty} {{ {a} \over {n} } \sum_{k=1}^{n} {f \left({{ ak } \over {n}} \right) } } = \int_{0}^{a} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x $$

 위 식은 많은 함수에서 x=0에서의 함숫값을 계산하기 쉬우므로 사용하는 식이다. 가장 적게 사용한 것 같다.

연속과 정적분

 어떤 구간에서 연속인 함수는 다음의 성질을 갖는다.

어떤 닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 임의의 함수 f는 닫힌 구간 [a, b]에서 리만적분 가능하다.

 지금까지 미분과 적분 시리즈의 개념 파트가 모두 끝났다. 다음 글부터는 미분과 적분 시리즈의 활용 파트가 시작된다.

 

 

 

자연의 거대한 책은 수학적 기호들로 쓰여졌다.

-갈릴레오 갈릴레이

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1. 정사각형, 정삼각형, 직사각형 등 [본문으로]