미분과 적분(34)

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 앞서 치환적분법에 대해 다루었다. 여기서는 부분적분법에 대해 다룰 것이다. 부분적분법 또한 부정적분의 정의만을 가지고 적분을 하기 힘들어 만들어진 적분법이다. 앞서 다룬 치환적분법은 합성함수의 미분법에서 유도된 적분법이다. 그럼 부분벅분법은 어디서 유도되었을까? 답은 곱의 미분법이다. 다음은 부분적분법의 유도과정이다.

부분적분법의 유도

$$ h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x)g(x) \to h(x) = f(x)g(x)-\int { f(x)g^{\prime}(x) }\, \operatorname{d}\!x $$

$$ \left\{ f(x)g(x) \right\}^{\prime} = f^{\prime}(x)g(x) +f(x)g^{\prime}(x) $$

$$ f^{\prime}(x)g(x) = \left\{ f(x)g(x) \right\}^{\prime}-f(x)g^{\prime}(x) $$

양변을 x에 대해 적분하면

$$ \int { f^{\prime}(x)g(x) }\, \operatorname{d}\!x = f(x)g(x) -\int { f(x)g^{\prime}(x) }\, \operatorname{d}\!x $$

정적분에서의 부분적분법 유도

 위의 적분을 아랫끝이 a, 윗끝이 b인 정적분에서 서술하면 다음과 같다.

닫힌 구간 [a, b]에서 x에 대해 정적분하면

미적분의 제2 기본정리에 의하여

$$ \int^{b}_{a} { f^{\prime}(x)g(x) }\, \operatorname{d}\!x = \left[ f(x)g(x) \right]^{b}_{a} -\int^{b}_{a} { f(x)g^{\prime}(x) }\, \operatorname{d}\!x $$

 이처럼 부분적분법을 이용하면 두 함수가 곱해져 있는 형태의 함수를 적분할 수 있다. 그러나 경우에 따라 최종적으로 적분이 되지 않는 경우도 나오므로 주의해서 사용해야 한다. 다음은 구분구적법을 활용한 정적분의 정의에 대해 알아볼 것이다.

 

 

 

수학이 어렵다고 해서 걱정하지 마세요. 장담컨대, 나는 여러분보다 훨씬 더 수학이 어려웠으니까요.

-아인슈타인

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