미분과 적분(32)

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 지금까지 다양한 함수의 부정적분에 대해 알아보았다. 부정적분을 구하는 것에서 '적분을 하다'라는 용어를 자주 사용했다. 이 '적분을 하다'는 주로 두 가지 의미로 사용이 된다. 이 두 의미는 '부정적분을 구하다'와 '정적분을 하다'인데 주로 후자의 의미를 사용한다. 이유는 이전에 다루었듯이 과거에 정적분을 먼저 사용했고, 이후에 부정적분이라는 개념을 만들었기 때문이다. 여기서는 정적분과 부정적분의 관계에 대해 알아볼 것이다.

정적분

 정적분은 주어진 구간에서 함수의 그래프로 나타내어진 넓이를 구하는 방법이다. 닫힌 구간 [a, b]에서 양수인 함수 f(x)의 닫힌 구간 [a, b]에서 그래프 아래의 넓이^[각주:1]는 아래와 같다.

$$ \int_{a}^{b} {f(x)}\, \operatorname{d}\!x $$

여기서 a를 정적분의 아랫끝, b를 정적분의 윗끝이라 한다. 정적분은 주로 구분구적법을 통해 정의하는데, 이 방식으로는 간단히 값을 구하기 힘들다. 이러한 와중에 연속함수에서 부정적분을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있음이 밝혀졌는데 이것이 미적분학의 제2 기본정리이다.

미적분학의 제2 기본정리

$$ \text{함수 } f \text{가 닫힌구간 } [a \text{, } b] \text{에서 연속이며, 함수 } F \text{가 } f \text{의 임의의 부정적분이면 다음이 성립한다.} $$
$$ \int_{a}^{b} { f(x) }\, \operatorname{d}\!x = F{b}-F(a) $$

 고등학교에서 정적분의 값을 구하는 방법은 주로 미적분학의 제2 기본정리를 이용한다. 미적분학의 제2 기본정리는 주어진 구간에서 연속함수가 되는 함수의 경우 부정적분을 구하여 정적분의 값을 구할 수 있음을 알려준다.

정적분을 이용해 넓이를 구할 때 주의할 점

 정적분은 주로 함수의 그래프 아래의 넓이를 구할 때 이용할 것이다. 정적분을 이용하여 넓이를 구할 때 주의할 점이 있다. x축을 기준으로 함수의 위치이다. 정적분하는 구간에서 구간의 양끝 값 중 작은 값을 아랫끝에, 큰 값을 윗끝에 배치하면 다음과 같은 상황이 발생한다.

$$ f(x) = \sin{\sqrt{x}} $$

 위와 같이 함수가 x축의 상단에 위치할 경우 정적분 값은 양의 값을 가진다. 그러나 다음과 같이 함수가 x축 하단에 위치할 경우 이야기가 달라진다.

 함수가 x축 하단에 위치할 경우 정적분의 값은 절댓값이 넓이와 같은 음수로 나오게 된다. 즉 정적분을 할 때, 함수가 x축 상단에 있는 구간에서는 (+) 부호를 붙이고, 함수가 x축 하단에 있는 구간에서는 (-) 부호를 붙이고 구해야 넓이가 나온다. 이 점을 생각하지 않고 구하면 본래 구하려던 넓이보다 작은 값이 나올 수 있으니 주의하자.

 

 

 

수학은 모든 종류의 추상적 개념을 다루는데 적합한 도구이다. 이 분야에서의 수학의 위력에는 한계가 없다.

-폴 디랙

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1. 좌표평면 상의 세 직선 x=a, x=b, y=0(x 축)과 곡선 y=f(x)로 이루어진 도형의 넓이 [본문으로]