미분과 적분(30)

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 지수함수와 로그함수의 부정적분에 대해 알아보자.

지수함수의 부정적분

 다음은 지수함수의 부정적분이다.

$$ f^{\prime}(x) = e^{x} \to f(x) = e^{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$
$$ f^{\prime}(x) = a^{x} \to f(x) = { {1} \over {\ln{a}} }a^{x} +C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

 지수함수를 미분하면 형태가 거의 변하지 않는다. 지수함수의 부정적분 또한 형태가 크게 변하지 않는다. 다음은 밑이 e인 지수함수의 부정적분을 유도하는 과정이다.

유도

$$ \left( e^{x} \right)^{\prime} = e^{x} $$

$$ e^{x} = \left( e^{x} \right)^{\prime} $$

양변을 x에 대하여 적분하면

$$ \int {e^{x}}\, \operatorname{d}\!x = e^{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

 유도과정을 보면 알 수 있듯이 크게 특별한 것은 없다. 밑이 a인 지수함수의 부정적분도 같은 방법으로 유도가 가능하다. 다음은 밑이 a인 지수함수의 부정적분을 유도하는 과정이다.

$$ \left( a^{x} \right)^{\prime} = a^{x}\ln{a} $$

$$ a^{x} = { {1} \over {\ln{a}} } \left( a^{x} \right)^{\prime} $$

양변을 x에 대하여 적분하면

$$ \int {a^{x}}\, \operatorname{d}\!x = { {1} \over {\ln{a}} } a^{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

 이처럼 미분과 적분을 할 때 식의 형태가 크게 변하지 않는 지수함수의 특성은 미분 적분을 할 때 다양하게 사용할 수 있다. 특히 부분적분법과 분수꼴로 되어있는 식을 적분할 때 유용하다. 이에 대해서는 다음에 자세히 다룰 것이다. 여기서는 하나의 예만 들어 살펴보도록 하자.

예

$$ f^{\prime}(x) = { {\cos{x}} \over {\sin{x} + \cos{x}} } $$

$$ f(x) = \int { { {\cos{x}} \over {\sin{x}+\cos{x}} } }\, \operatorname{d}\!x = \int { { {e^{x}\cos{x}} \over {e^{x}\left( \sin{x}+\cos{x} \right)} } }\, \operatorname{d}\!x $$

$$ \text{이때 } \left\{ e^{x}\left( \sin{x}+\cos{x} \right) \right\}^{\prime} = 2 e^{x} \cos{x} \text{이므로} $$

$$ \int { { {e^{x}\cos{x}} \over {e^{x}\left( \sin{x}+\cos{x} \right)} } }\, \operatorname{d}\!x = { {1} \over {2} } \int { { {2e^{x}\cos{x}} \over {e^{x}\left( \sin{x}+\cos{x} \right)} } }\, \operatorname{d}\!x = { {1} \over {2} } \ln{ \left| \sin{x}+\cos{x} \right| }+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

$$ \therefore f(x) = { {1} \over {2} } \ln{ \left| \sin{x}+\cos{x} \right| }+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

로그함수의 부정적분

 다음은 로그함수의 부정적분이다.

$$ f^{\prime}(x) = \ln{x} \to f(x) = x\ln{x}-x+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$
$$ f^{\prime}(x) = \log_{a}{x} \to f(x) = { {x\ln{x}-x} \over {\ln{a}} } +C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

 로그함수의 부정적분에서 첫 번째 식은 외워두는 것이 편하다. 물론 반드시 외울 필요는 없다. 외워두면 단지 문제를 풀 때 편할 뿐이다. 로그함수의 부정적분에 대한 것은 이후 부분적분법을 주제로 할 때 유도과정 등과 함께 좀 더 자세히 다룰 것이다.

 지금까지 지수함수와 로그함수의 부정적분에 대해 다루었다. 다음은 삼각함수의 부정적분을 주제로 할 것이다.

 

 

 

수학에 대해 좀 더 많은 것을 알 수 있는 기회를 가졌던 많은 사람들은 수학을 산술과 혼동해서 딱딱한 과학이라고 생각한다. 그러나 사실 수학은 엄청난 상상력을 필요로 하는 솨학이다.

-소피아 코발레프스키

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