미분과 적분(31)

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 삼각함수의 부정적분은 6가지 공식이 있다. 이 6가지의 부정적분은 모두 부정적분의 정의에서부터 도출되는 식이다. 다음은 삼각함수의 부정적분 6가지이다.

삼각함수의 부정적분

$$ \text{① } f^{\prime}(x) = \sin{x} \to f(x) = -\cos{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right)
$$
$$ \text{② } f^{\prime}(x) = \cos{x} \to f(x) = \sin{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right)
$$
$$ \text{③ } f^{\prime}(x) = \sec^{2}{x} \to f(x) = \tan{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right)
$$
$$ \text{④ } f^{\prime}(x) = \sec{x}\tan{x} \to f(x) = \sec{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right)
$$
$$ \text{⑤ } f^{\prime}(x) = \csc{x}\cot{x} \to f(x) = -\csc{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right)
$$
$$ \text{⑥ } f^{\prime}(x) = \csc^{2}{x} \to f(x) = -\cot{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right)
$$

 삼각함수는 알게 모르게 실생활의 상당히 많은 부분에서 사용되고 있다. 그에 따라 삼각함수의 도함수나 부정적분을 구할 필요성이 상당히 생겼다. 그러나 삼각함수는 n차 다항함수나 지수함수와 달리 부정적분을 구하기가 매우 까다롭다. 그로 인해 부정적분의 정의를 이용하여 6가지를 공식화했다. 이 중 위의 3가지는 주로 사용되므로 반드시 외워두기 바란다. 유도되는 과정은 다음과 같다.

유도과정 ①

$$ \left( \cos{x} \right)^{\prime} = -\sin{x} $$

$$ \sin{x} = -\left( \cos{x} \right)^{\prime} $$

양변을 x에 대하여 적분하면

$$ \int { \sin{x} }\, \operatorname{d}\!x = -\cos{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

유도과정 ②

$$ \left( \sin{x} \right)^{\prime} = \cos{x} $$

$$ \cos{x} = \left( \sin{x} \right)^{\prime} $$

양변을 x에 대하여 적분하면

$$ \int { \cos{x} }\, \operatorname{d}\!x = \sin{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

유도과정 ③

$$ \left( \tan{x} \right)^{\prime} = \sec^{2}{x} $$

$$ \sec^{2}{x} = \left( \tan{x} \right)^{\prime} $$

양변을 x에 대하여 적분하면

$$ \int { \sec^{2}{x} }\, \operatorname{d}\!x = \tan{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

유도과정 ④

$$ \left( \sec{x} \right)^{\prime} = \sec{x}\tan{x} $$

$$ \sec{x}\tan{x} = \left( \sec{x} \right)^{\prime} $$

양변을 x에 대하여 적분하면

$$ \int { \sec{x}\tan{x} }\, \operatorname{d}\!x = \sec{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

유도과정 ⑤

$$ \left(\csc{x} \right)^{\prime} = -\csc{x}\cot{x} $$

$$ \csc{x}\cot{x} = -\left( \csc{x} \right)^{\prime} $$

양변을 x에 대하여 적분하면

$$ \int { \csc{x}\cot{x} }\, \operatorname{d}\!x = -\csc{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

유도과정 ⑥

$$ \left( \cot{x} \right)^{\prime} = -\csc^{2}{x} $$

$$ \csc^{2}{x} = -\left( \cot{x} \right)^{\prime} $$

양변을 x에 대하여 적분하면

$$ \int { \csc^{2}{x} }\, \operatorname{d}\!x = -\cot{x}+C \left( C \text{는 적분상수} \right) $$

 지금까지 삼각함수의 부정적분과 이를 유도하는 과정에 대해 알아보았다. 다음은 정적분에 대하여 알아볼 것이다.

관련 글

 유도과정이 이해가 되지 않을 경우 다음 내용을 참고해보자.

[수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(27) - 삼각함수의 도함수

[수학/고등학생을 위한 수학] - 미분과 적분(28) - 부정적분

 

 

 

공작의 머리 깃처럼 수학은 모든 지식의 머리에 얹혀 있다.

-인도 속담

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