미분과 적분(29)

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 앞서 부정적분이 무엇인지 알아보았다. 이번 글에서는 적분의 성질과 n차 다항식의 부정적분에 대해 다룰 것이다.

적분의 성질

 적분도 미분과 마찬가지로 몇 가지 성질을 가진다. 미분과 마찬가지로 덧셈에 대해서는 연산이 자유롭지만 곱셈에 대해서는 자유롭지 않다.

함수 f(x), g(x)가 적분가능할 때,
$$ \int f(x)\, \operatorname{d}\!x \pm \int f(x)\, \operatorname{d}\!x = \int {\left\{ f(x) \pm g(x) \right\}}\, \operatorname{d}\!x $$

함수 f(x), g(x)가 적분가능할 때,
$$ \int f(x)\, \operatorname{d}\!x \times \int f(x)\, \operatorname{d}\!x = \int {\left\{ f(x) \times g(x) \right\}}\, \operatorname{d}\!x $$
가 성립하는 경우는 특수한 경우이다. 일반적으로 성립하지 않는다.

n차 다항함수의 부정적분

 이 글을 포함하여 세 글의 주제는 적분 공식이다. 여기서는 n차 다항함수의 적분을 다룰 것이다. n차 다항함수의 부정적분은 다음과 같다.

$$ \text{실수 } n \text{에 대하여 함수 } f^{\prime}(x) = x^{n} \text{이면 } $$
$$ \text{부정적분 } f(x) = \begin{cases} { {1} \over {n+1} } x^{n+1} +C_{1} & \left( n \ne -1 \right) \\ \ln{ \left| x \right| } +C_{2} & \left( n =-1 \right) \end{cases} \left( \text{단, } C_{1} \text{, } C_{2} \text{는 적분상수} \right) $$

여기서 볼 수 있듯이 n차 다항함수의 부정적분은 경우에 따라 달라진다. 이 점을 명심하자. 또한 여기서 x^0 = 1로 계산한다.^[각주:1] n차 다항함수를 미분할 때는 하나의 공식으로 설명이 가능했는데, 왜 부정적분은 경우가 나누어질까? 아래의 증명을 보며 생각해보자.

증명

 함수 f'(x)를 n차 다항함수로 정의하면

$$ f^{\prime}(x) = x^{n} $$

이때 부정적분 f(x)는 다음 두 경우로 나눌 수 있다.

n = -1

$$ \left( \ln{ \left| x \right| } \right)^{\prime} = { {1} \over {x} } = x^{-1} \text{이므로} $$

$$ \text{함수 } f^{\prime}(x) \text{의 부정적분 } f(x) = \ln{ \left| x \right| } +C \left( \text{단, } C \text{는 적분상수} \right) $$

$$ \left( x^{m} \right)^{\prime} = m x^{m-1} \left(m \ne 0 \right) $$

이때 m-1=n으로 두면 m=n+1이므로

$$ \left( x^{n+1} \right)^{\prime} = \left( n+1 \right) x^{n} $$

$$ { {1} \over {n+1} } \left( x^{n+1} \right)^{\prime} = x^{n} $$

$$ x^{n} = { {1} \over {n+1} } \left( x^{n+1} \right)^{\prime} $$

위 등식의 양변을 x에 대하여 적분하면

$$ \int x^{n}\, \operatorname{d}\!x = { {1} \over {n+1} } x^{n+1} +C \left( \text{단, } C \text{는 적분상수} \right) $$

 

 따라서 n차 다항함수 f'(x)의 부정적분은 다음과 같다.

$$ f^{\prime}(x) = x^{n} \to f(x) = \begin{cases} { {1} \over {n+1} } x^{n+1} +C_{1} & \left( n \ne -1 \right) \\ \ln{ \left| x \right| } +C_{2} & \left( n =-1 \right) \end{cases} \left( \text{단, } C_{1} \text{, } C_{2} \text{는 적분상수} \right) $$

 지금까지 적분의 성질에 대해 알아보았으며, n차 다항함수의 공식을 유도하였다. 다음은 지수함수와 로그함수의 부정적분에 대해 다룰 것이다.

 

 

 

수학의 천재와 예술의 천재는 서로 통한다.

-레플러

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1. 여기서는 편의상 x^0 = 1로 계산하지만, 이는 x가 0이 아니라는 조건이 붙어야 성립한다. [본문으로]