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수학/고등학생을 위한 수학

미분과 적분(29)

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※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.


 앞서 부정적분이 무엇인지 알아보았다. 이번 글에서는 적분의 성질과 n차 다항식의 부정적분에 대해 다룰 것이다.

적분의 성질

 적분도 미분과 마찬가지로 몇 가지 성질을 가진다. 미분과 마찬가지로 덧셈에 대해서는 연산이 자유롭지만 곱셈에 대해서는 자유롭지 않다.

함수 f(x), g(x)가 적분가능할 때,
f(x)dx±f(x)dx={f(x)±g(x)}dx
함수 f(x), g(x)가 적분가능할 때,
f(x)dx×f(x)dx={f(x)×g(x)}dx
가 성립하는 경우는 특수한 경우이다. 일반적으로 성립하지 않는다.

n차 다항함수의 부정적분

 이 글을 포함하여 세 글의 주제는 적분 공식이다. 여기서는 n차 다항함수의 적분을 다룰 것이다. n차 다항함수의 부정적분은 다음과 같다.

실수 n에 대하여 함수 f(x)=xn이면 
부정적분 f(x)={1n+1xn+1+C1(n1)ln|x|+C2(n=1)(단, C1C2는 적분상수)

여기서 볼 수 있듯이 n차 다항함수의 부정적분은 경우에 따라 달라진다. 이 점을 명심하자. 또한 여기서 x^0 = 1로 계산한다.[각주:1] n차 다항함수를 미분할 때는 하나의 공식으로 설명이 가능했는데, 왜 부정적분은 경우가 나누어질까? 아래의 증명을 보며 생각해보자.

증명

 함수 f'(x)를 n차 다항함수로 정의하면

f(x)=xn

이때 부정적분 f(x)는 다음 두 경우로 나눌 수 있다.

n = -1

(ln|x|)=1x=x1이므로

함수 f(x)의 부정적분 f(x)=ln|x|+C(단, C는 적분상수)

(xm)=mxm1(m0)

이때 m-1=n으로 두면 m=n+1이므로

(xn+1)=(n+1)xn

1n+1(xn+1)=xn

xn=1n+1(xn+1)

위 등식의 양변을 x에 대하여 적분하면

xndx=1n+1xn+1+C(단, C는 적분상수)

 

 따라서 n차 다항함수 f'(x)의 부정적분은 다음과 같다.

f(x)=xnf(x)={1n+1xn+1+C1(n1)ln|x|+C2(n=1)(단, C1C2는 적분상수)

 지금까지 적분의 성질에 대해 알아보았으며, n차 다항함수의 공식을 유도하였다. 다음은 지수함수와 로그함수의 부정적분에 대해 다룰 것이다.

 

 

 

수학의 천재와 예술의 천재는 서로 통한다.

-레플러


 

  1. 여기서는 편의상 x^0 = 1로 계산하지만, 이는 x가 0이 아니라는 조건이 붙어야 성립한다. [본문으로]
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