미분과 적분(27)

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 삼각함수의 도함수는 특이한 성질을 가지고 있다. 먼저 삼각함수의 도함수를 보며 알아보자. 다음은 삼각함수의 도함수를 어떤 기준에 따라 분류한 것이다.

$$ f(x) = \sin{x} \to f^{\prime}(x) = \cos{x} \text{, } f(x) = \cos{x} \to f^{\prime}(x) = -\sin{x} $$
$$ f(x) = \tan{x} \to f^{\prime}(x) = \sec^{2}{x} \text{, } f(x) = \cot{x} \to f^{\prime}(x) = -\csc^{2}{x} $$
$$ f(x) = \sec{x} \to f^{\prime}(x) = \sec{x} \tan{x} \text{, } f(x) = \csc{x} \to f^{\prime}(x) = -\csc{x}\cot{x} $$

분류기준: 형태의 유사성과 도함수의 부호

 이를 보면 알 수 있듯이 삼각함수의 도함수는 본함수와 형태가 약간 달라지긴 하지만 미분을 해도 삼각함수가 반복되는 형태가 된다. 이러한 성질 탓에 극한에 삼각함수가 있을 경우에는 '로피탈의 정리'를 쉽사리 사용하기 어렵다. 로피탈의 정리를 사용하기 위해 분자와 분모가 값을 가질 때까지 미분을 해봤자, 식이 너무 복잡해져 차라리 삼각함수의 극한을 이용해 구하는 것이 몇 배로 빠른 경우가 허다하기 때문이다. 이러한 성질을 가지는 삼각함수의 도함수가 어떻게 유도될까? 다음을 보며 삼각함수의 도함수를 유도해보자.

보조정리 1 -삼각함수의 성질

$$ \sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha} = 1 $$

보조정리 2 -삼각함수의 덧셈정리

$$ \sin{ \left( \alpha + \beta \right) } = \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} $$
$$ \cos{ \left( \alpha+\beta \right) } = \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} $$

$$ \text{① } f(x) = \sin{x} $$

$$ \begin{matrix} f^{\prime}(x) &=& \lim_{h \to 0}{ { {f(x+h)-f(x)} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {\sin{x+h}-\sin{x}} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {\sin{x}\cos{h}+\cos{x}\sin{h}-\sin{x}} \over {h} } } \\ && \left( \because \text{삼각함수의 덧셈정리: } \sin{ \left( \alpha + \beta \right) } = \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \right) \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { { \cos{x}\sin{h}-\sin{x} \left( 1-\cos{h} \right) } \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left( \cos{x} { {\sin{h}} \over {h} } -\sin{x}{ {1-\cos{h}} \over {h} } \right) } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left\{ \cos{x} \cdot { {\sin{h}} \over {h} } -\sin{x} \cdot { {\left( 1-\cos{h} \right) \left( 1+\cos{h} \right)} \over {h \left( 1+\cos{h} \right)} } \right\} } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left\{ \cos{x} \cdot { {\sin{h}} \over {h} } -\sin{x} \cdot { {1-\cos^{2}{h}} \over {h \left( 1+\cos{h} \right)} } \right\} } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left\{ \cos{x} \cdot { {\sin{h}} \over {h} } -\sin{x} \cdot { {\sin^{2}{h}} \over {h \left( 1+\cos{h} \right)} } \right\} } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {\sin{h}} \over {h} } \left\{ \cos{x}-\sin{x} \cdot { {\sin{h}} \over {\left( 1+\cos{h} \right)} } \right\} } \\ &=& 1 \times \left( \cos{x}-\sin{x} \times { {0} \over {2} } \right) \\ && \left( \because \lim_{\theta \to 0}{ { {\sin{\theta}} \over {\theta} } } = 1 \right) \\ &=& \cos{x} \end{matrix} $$

$$ \therefore f^{\prime}(x) = \cos{x} $$

$$ \text{② } f(x) = \cos{x} $$

$$ \begin{matrix} f^{\prime}(x) &=& \lim_{h \to 0}{ { {f(x+h)-f(x)} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {\cos{x+h}-\cos{x}} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {\cos{x}\cos{h}-\sin{x}\sin{h}-\cos{x}} \over {h} } } \\ && \left( \because \text{삼각함수의 덧셈정리: } \cos{ \left( \alpha + \beta \right) } = \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \right) \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {-\cos{x} \left( 1-\cos{h} \right)-\sin{x}\sin{h}} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left\{ -\cos{x} \cdot { {1-\cos^{2}{h}} \over {h\left( 1+\cos{h} \right)} } -\sin{x} \cdot { {\sin{h}} \over {h} } \right\} } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left\{ -\cos{x} \cdot { {\sin^{2}{h}} \over {h\left( 1+\cos{h} \right)} } -\sin{x} \cdot { {\sin{h}} \over {h} } \right\} } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left\{ -\cos{x} \cdot { {\sin{h}} \over {h} } \cdot { {\sin{h}} \over {1+\cos{h}} } -\sin{x} \cdot { {\sin{h}} \over {h} } \right\} } \\ &=& -\cos{x} \cdot 1 \cdot { {0} \over {2} } -\sin{x} \cdot 1 \\ &=& -\sin{x} \end{matrix} $$

$$ \therefore f^{\prime}(x) = -\sin{x} $$

 ①과 ②에서 볼 수 있듯이 사인 함수와 코사인 함수는 각자의 도함수가 된다. 즉, ①과 ②에 의하여 사인 함수와 코사인 함수의 도함수는 다음과 같이 순환한다.

$$ \begin{matrix} \sin{x} & \rightarrow & \cos{x} \\ \uparrow && \downarrow \\ -\sin{x} & \leftarrow & -\cos{x} \end{matrix} $$

사인 함수와 코사인 함수를 미분하였을 때 이와 같이 순환하는 성질을 가지고 있다는 점을 잘 기억해놓자. 이후 적분할 때 이 성질을 이용하여 다양한 방식으로 응용할 수 있다.

$$ \text{③ } f(x) = \tan{x} $$

$$ \tan{x} = { {\sin{x}} \over {\cos{x}} } \text{이므로 } f(x) = { {\sin{x}} \over {\cos{x}} } $$

몫의 미분법에 의하여

$$ \begin{matrix} f^{\prime}(x) &=& { {\cos{x} \times \cos{x}-\sin{x}\left( -\sin{x} \right)} \over {\cos^{2}{x}} } \\ &=& { {\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}} \over {\cos^{2}{x}} } \\ &=& { {1} \over {\cos^{2}{x}} } \\ && \left( \because \sin^{2}{x}+\cos^{2}{x} = 1 \right) \\ &=& \sec^{2}{x} \end{matrix} $$

$$ \therefore f^{\prime}(x) = \sec^{2}{x} $$

$$ \text{④ } f(x) = \cot{x} $$

$$ \cot{x} = { {1} \over {\tan{x}} } \text{이므로 } f(x) = { {1} \over {\tan{x}} } $$

몫의 미분법에 의하여

$$ \begin{matrix} f^{\prime}(x) &=& -{ {\sec^{2}{x}} \over {\tan^{2}{x}} } \\ &=& -{ {1} \over {\cos^{2}{x}} } \cdot { {\cos^{2}{x}} \over {\sin^{2}{x}} } \\ &=& -{ {1} \over {\sin^{2}{x}} } \\ &=& -\csc^{2}{x} \end{matrix} $$

$$ \therefore f^{\prime}(x) = -\csc^{2}{x} $$

 ③과 ④에서 볼 수 있듯이 탄젠트 함수와 코탄젠트 함수의 도함수는 삼각함수의 제곱의 형태를 가진다.

$$ \text{⑤ } f(x) = \sec{x} $$

$$ \sec{x} = { {1} \over {\cos{x}} } \text{이므로 } f(x) = { {1} \over {\cos{x}} } $$

몫의 미분법에 의하여

$$ f^{\prime}(x) = -{ {-\sin{x}} \over {\cos^{2}{x}} } = \sec{x}\tan{x} $$

$$ \therefore f^{\prime}(x) = \sec{x}\tan{x} $$

$$ \text{⑥ } f(x) = \csc{x} $$

$$ \csc{x} = { {1} \over {\sin{x}} } \text{이므로 } f(x) = { {1} \over {\sin{x}} } $$

몫의 미분법에 의하여

$$ f^{\prime}(x) = -{ {\cos{x}} \over {\sin^{2}{x}} } = -\csc{x}\cot{x} $$

$$ \therefore f^{\prime}(x) = -\csc{x}\cot{x} $$

 ⑤와 ⑥에서 볼 수 있듯이 시퀀트 함수와 코시퀀트 함수의 도함수는 두 삼각함수의 곱의 형태를 가진다.

$$ 1+\tan^{2}{\theta} = \sec^{2}{\theta} $$

$$ 1+\cot^{2}{\theta} = \csc^{2}{\theta} $$

 ①, ②, ③, ④, ⑤, ⑥에서 볼 수 있듯이 삼각함수는 비슷한 것들끼리 유사한 형태의 도함수를 가지며, 삼각함수와 그 함수의 도함수에 나타나는 삼각함수는 다른 공식에서도 연관되어 있다. 이 점을 이용하면 삼각함수와 관련된 공식을 외움에 있어 도움이 될 것이다. 

 

 

 

이 세상의 이치는 수학 지식 없이 알아낼 수가 없다.

-로저 베이컨

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