미분과 적분(25)

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 앞서 지수함수와 로그함수의 극한에 대해 알아보았다. 여기서는 지수함수와 로그함수의 도함수를 구할 것이다. 지수함수의 도함수는 형태가 거의 변하지 않아 적분할 때 적절히 사용하면 편리함이 있으며, 로그함수의 도함수는 어떤 함수와 그 함수의 도함수가 분수 꼴로 이루어진 함수의 함수값을 구함에 있어서 편리하다.

지수함수

$$f(x) = e^{x} \to f^{\prime}(x) = e^{x}$$
$$f(x) = a^{x} \to f^{\prime}(x) = a^{x}\ln{a}$$

$$\text{① } f(x) = e^{x}$$

$$\begin{matrix} f^{\prime}(x) &=& \lim_{h \to 0}{ { {f(x+h)-f(x)} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {e^{x+h}-e^{x}} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {e^{x} \left( e^{h}-1 \right) } \over {h} } } \\ &=& e^{x}\lim_{h \to 0}{ { {e^{h}-1} \over {h} } } \end{matrix}$$

$$\text{이때 } \lim_{h \to 0}{ { {e^{h}-1} \over {h} } } = 1 \text{이므로}$$

$$f^{\prime}(x) = e^{x}$$

 여기서 볼 수 있듯이 밑이 e인 지수함수는 도함수와 본래의 함수가 같은 함수이다. 그렇기에 미분과 적분을 함에 있어서 특별하게 취급되는 함수이다. 그 중에서도 곱의 미분을 함에 있어서 밑이 e인 지수함수가 곱해져있을 경우 다음의 공식을 적용하여 푼다.

$$g(x) = f(x)e^{x}$$

$$g^{\prime}(x) = f^{\prime}(x)e^{x}+f(x)e^{x} = \left\{ f(x)+f^{\prime}(x) \right\}e^{x}$$

$$\therefore g^{\prime}(x) = \left\{ f(x)+f^{\prime} \right\}$$

 

$$\text{② } f(x) = a^{x}$$

$$\begin{matrix} f^{\prime}(x) &=& \lim_{h \to 0}{ { {f(x+h)-f(x)} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {a^{x+h}-a^{x}} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {\left( a^{h}-1 \right)a^{x}} \over {h} } } \\ &=& a^{x}\lim_{h \to 0}{ { {a^{h}-1} \over {h} } } \end{matrix}$$

$$\text{이때 } \lim_{h \to 0}{ { {a^{h}-1} \over {h} } } = \ln{a} \text{이므로}$$

$$f^{\prime}(x) = a^{x}\ln{a}$$

 여기서 볼 수 있듯이 ①은 a=e인 ②의 특수한 경우이다.

 

로그함수

$$f(x) = \ln{ \left| x \right| } \to f^{\prime}\left(x\right) = { {1} \over {x} }$$
$$f(x) = \log_{a}{ \left| x \right| } \to f^{\prime}(x) = { {1} \over {x \ln{a}} }$$

$$\text{③ } f(x) = \ln{\left| x \right|}$$

$$\text{i) } x>0 \text{일 때, } f(x) = \ln{x} \text{이므로}$$

$$\begin{matrix} \lim_{h \to 0}{ { {f(x+h)-f(x)} \over {h} } } &=& \lim_{h \to 0}{ { {\ln{(x+h)-\ln{x}}} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {\ln{ { {x+h} \over {x} } }} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{\color{Red}{ { {x} \over {h} } }\ln{\left( 1+\color{Red}{ { {h} \over {x} } } \right)}} \cdot \color{Blue}{ { {1} \over {x} } } \\ &=& { {1} \over {x} } \lim_{h \to 0}{ { {x} \over {h} }\ln{\left(1+{ {h} \over {x} }\right)} } \end{matrix}$$

$$\text{이때 } { {h} \over {x} } = t \text{라고 하면 } h \to 0 \text{일 때, } t \to 0 \text{이고,}$$

$$\lim_{h \to 0}{ { {x} \over {h} }\ln{\left(1+{ {h} \over {x} }\right)} } = \lim_{t \to 0}{ {\ln{ \left( 1+t \right) }} \over {t} } = 1 \text{이므로}$$

$$f^{\prime}(x) = { {1} \over {x} }$$

$$\text{ii) } x<0 \text{일 때 } f(x) = \ln{(-x)} \text{이므로}$$

합성함수 미분법에 의하여

$$f^{\prime}(x) = { {1} \over {-x} } \times \left( -1 \right) = { {1} \over {x} }$$

$$\therefore \text{i), ii) 에 의하여 } f^{\prime}(x) = { {1} \over {x} }$$

 여기서 함수 y=lnx의 도함수는 차수가 -1인 다항함수임을 알 수 있다. 이는 함수 y=x^{n}(n은 임의의 실수)을 x에 대하여 미분할 때, 도함수의 차수가 -1인 다항함수가 나오지 않으므로 중요한 점이라 할 수 있다.

 또한 함수 g(x)=lnf(x)이면 합성함수 미분법에 의하여 다음이 성립한다.

$$g(x) = \ln{f(x)} \to g^{\prime}(x) = { {f^{\prime}(x)} \over {f(x)} }$$

이로 인해 어떤 함수와 그 함수의 도함수가 분수꼴로 이루어진 함수의 미분계수를 구함에 있어 편리하게 사용할 수 있다.

 

$$\text{④ } f(x) = \log_{a}{\left| x \right|}$$

$$f(x) = { {\ln{ \left| x \right| }} \over {\ln{a}} } \left( \because \text{로그의 성질: } \log_{a}{b} = { {\log_{c}{b}} \over {\log_{c}{a}} } \right)$$

$$\therefore f^{\prime}(x) = { {1} \over {x \ln{a}} } \left( \because ③ \right)$$

 여기서 ③은 ④의 a=e인 특수한 경우임을 알 수 있다.

 

n차 다항식의 미분

 로그함수의 미분 공식과 음함수의 미분법을 이용하면 n차 다항함수의 차수 n의 범위를 임의의 실수 범위에서 미분 공식을 구할 수 있다.

$$y=x^{n}$$

0이 아닌 임의의 실수 n에 대하여 y=x^{n}이 존재할 때,

양변에 절댓값을 씌우면

$$\left| y \right| = \left| x^{n} \right| = \left| x \right|^{n}$$

이므로 양변에 밑이 e인 로그를 취하면

$$\ln{\left| y \right|} = \ln{ \left| x \right|^{n}} = n \ln{ \left| x \right| }$$

이때 x에 대하여 미분하면 음함수의 미분법에 의하여

$${ {1} \over {y} } { {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {n} \over {x} }$$

$${ {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {ny} \over {x} }$$

$$\text{이때 } y = x^{n} \text{이므로}$$

$${ {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {nx^{n}} \over {x} } = nx^{n-1}$$

$$\therefore \text{함수 } f(x) = x^{n} \text{의 도함수 } f^{\prime}(x) = nx^{x-1} \text{임이 } \text{임의의 실수 } n \text{에 대하여 성립한다.}$$

 지금까지 지수함수와 로그함수의 미분 공식에 대해 알아보았다. 다음은 삼각함수의 극한에 대하여 알아볼 것이다.

 

 

 

내가 푼 각각의 문제는 나중에 다른 문제들을 풀기 위한 하나의 규칙이 되었다.

-르네 데카르트

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