미분과 적분(23)

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 이 글에서는 상수 e를 다룰 것이다. 상수 e는 자연상수, 오일러상수라고도 불리며, 초월수인 무리수이다. 주로 e로 표기한다. 또한 상수 e를 일컫는 표현^[각주:1]은 모두 정식용어는 아니다. 여기서는 자연상수 e로 부를 것이다. 자연상수 e의 계산에 대한 최초의 기록은 존 네이피어가 근사값으로 계산한 것이며, 최초의 정의는 야코프 베르누이가 특정한 상수로 됨을 발견하면서이다. 이후 라이프니츠가 상수 b로 처음 표기하고, 오일러가 현재 우리가 주로 사용하는 표기인 e를 처음 사용한다.^[각주:2]

자연상수 e의 정의

 자연상수 e가 정의된 배경은 야코프 베르누이가 복리 이자의 계산이 극한을 취하면 특정한 값에 가까워지고, 이는 어떤 특정한 상수로 수렴함을 알게 되면서이다. 자연상수 e는 다음과 같이 정의할 수 있다.

• 야코프 베르누이의 방법

$$ \lim_{n \to \infty}{ \left( 1+{ {1} \over {n} } \right)^{n} } $$

 가장 일반적으로 사용하는 방법이며 고등학교 교과서에서도 이 방법으로 자연상수 e를 정의한다. 이 정의는 다음의 식으로 바꿔 쓸 수 있다.

$$ \lim_{x \to 0}{ \left( 1+x \right) }^{ { {1} \over {x} } } $$

여기서 (1+0)^(무한대) 꼴이므로 이 극한은 1로 수렴할 것이라는 생각을 하는 사람들도 있지만 그렇지 않다. 가끔 이것때문에 문제를 틀리는 경우가 있으므로 실수하지 않도록 주의하자.

• 넓이를 이용한 방법

$$ \text{좌표평면 상의 곡선 } y = { {1} \over {x} } \text{과 세 직선 } x \text{축, } x = 1 \text{,} $$
$$ x = t \text{로 이루어진 부분의 넓이가 } 1 \text{일때, } t \text{의 값} $$

 이 방법을 이용하면 정적분, 로그함수, 극한에 대한 정보없이 자연상수 e를 정의할 수 있다는 장점이 있다.

• 무한급수를 이용한 방법

$$ \sum_{n=1}^{\infty}{ { {1} \over {n!} } } $$

 이 방법은 테일러 급수를 이용하여 정의하는 방법이다. 고등학교 교과 과정에서는 배우지 않는다.

 

 자연상수 e는 과학에서 많이 사용되고 있는 상수이다. 자연과학에 나오는 많은 변화량들이 있는데 이들간 관계를 식으로 적을 때 자연상수 e가 빈번하게 사용된다. 이외에도 미분, 적분을 할 때 자연상수 e를 밑으로 가지는 지수함수는 특별하게 취급된다.

자연로그

 밑을 e로 가지는 로그를 자연로그라고 한다. 이 자연로그는 본래 log라고 표기하였으나 이후에 상용로그와 혼동된다고 하여 ln으로 표기한다. 자연로그는 다음의 성질을 가진다.

$$ \ln{ e } = 1 $$

$$ \ln{ x } +\ln{ y } = \ln{ x+y } $$

$$ \ln{x}-\ln{y} = \ln{ { {x} \over {y} } } $$

$$ \vdots $$

 

다음 글은 지수함수와 로그함수의 극한을 주제로 할 것이다.

 

 

 

해결된 문제란 존재하지 않는다. 해결된 것처럼 보이는 문제가 있을 뿐이다.

-푸앵카레

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1. 자연상수 e, 오일러상수 e [본문으로]
2. 오일러가 처음 사용한 이후로 e로 표기한다고 해서 오일러상수라고도 부르는 것이다. [본문으로]