미분과 적분(22)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 앞서 매개변수로 나타내어진 함수의 미분 공식을 유도하였다. 마지막 여섯 번째 미분 공식은 역함수의 미분법이다. 역함수의 미분법은 합성함수의 미분법과 음함수의 미분법을 활용하여 유도할 수 있다. 필자는 이 중 합성함수의 미분법을 이용한 방법을 더 선호한다.

유도 1 - 합성함수의 미분법 이용

$$ \text{함수 } y = f(x) \text{에 대하여 } g(x) = f^{-1}(x) \text{라고 하면} $$

$$ f \left( g \left( x \right) \right) = x $$

합성함수 미분법에 의하여

$$ f^{\prime} \left( g \left( x \right) \right) g^{\prime}(x) = 1 $$

$$ \therefore g^{\prime}(x) = { {1} \over {f^{\prime}(g(x))} } $$

유도 2 - 음함수의 미분법 이용

$$ \text{함수 } f(x) \text{의 역함수 } y = f^{-1}(x) \text{에 대하여 } $$

$$ f(y) = x $$

음함수의 미분법에 의하여

$$ { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } f^{\prime}(y) = 1 $$

$$ \therefore { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {1} \over {f^{\prime}(y)} } $$

 위 역함수의 미분 유도 과정 둘은 거의 비슷하다. 그러나 필자 개인적으로는 합성함수의 미분법을 이용해 유도한 공식이 좀 더 이해하기 쉽고, 또 편하게 사용할 수 있다고 생각한다. 이는 개인 취향이므로 편하게 사용할 수 있는 것을 사용하면 된다.

 

 

 

수학은 물리적 우주의 자물쇠를 여는 추상적 열쇠이다.

-존 폴킨호른

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