미분과 적분(24)

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 앞서 자연상수 e에 대해 다루었다. 여기서는 지수함수와 로그함수의 극한에 대해 다룰 것이다. 다음은 지수함수와 로그함수에서 만족하는 관계이다.

$$ 1 \text{이 아닌 양수 } a \text{와 자연상수 } e \text{에 대하여 다음이 성립한다.} $$
$$ \lim_{x \to \infty}{ a^{x} } = \begin{cases} \infty & (a>1) \\ 0 & (0<a<1) \end{cases} \text{, } \lim_{x \to -\infty}{ a^{x} } = \begin{cases} 0 & (a>1) \\ \infty & (0<a<1) \end{cases} $$
$$ \lim_{x \to \infty}{ \log_{a}{x} } = \begin{cases} \infty & (a>1) \\ -\infty & (0<a<1) \end{cases} \text{, } \lim_{x \to 0}{ \log_{a}{x} } = \begin{cases} -\infty & (a>1) \\ \infty & (0<a<1) \end{cases} $$
$$ \lim_{x \to 0}{ { {e^{x}-1} \over {x} } } = 1 \text{, } \lim_{x \to 0}{ { {a^{x}-1} \over {x} } } = \ln{a} $$
$$ \lim_{x \to 0}{ { {\ln{ (x+1) }} \over {x} } } = 1 \text{, } \lim_{x \to 0}{ { {\log_{a}{(x+1)}} \over {x} } } = { {1} \over {\ln{a}} } $$

 처음 두 줄의 식은 위와 같이 지수함수와 로그함수의 그래프를 그려 이해하면 편하다. 지수함수의 경우 밑이 1보다 크면 x의 값이 커짐에 따라 함숫값은 단조증가하며, 극한은 발산한다. 또한 밑이 0보다 크고 1보다 작으면 x의 값이 커짐에 따라 함숫값은 단조감소하며, 극한은 0에 수렴한다. 로그함수의 경우 밑이 1보다 크면 x의 값이 커짐에 따라 함숫값은 단조증가하며, 극한은 발산한다. 밑이 0보다 크고 1보다 작으면 x의 값이 커짐에 따라 함숫값은 단조감소하고, 극한은 발산한다. 이렇게 지수함수와 로그함수에 취한 극한은 비슷하면서도 다르다. 나머지 4가지 식에 대해서도 알아보자.

증명

 처음 두 줄을 제외한 나머지 식들은 모두 자연상수 e의 정의, 그 중에서도 야코프 베르누이의 정의를 이용해 유도할 수 있다.

$$ \text{i) } \lim_{x \to 0}{ { {e^{x}-1} \over {x} } } $$

$$ e^{x}-1 = t \text{라고 하면 } x = \ln{(t+1)} \text{,} $$

$$ x \to 0 \text{일때, } t \to 0 \text{이므로} $$

$$ \lim_{x \to 0}{ { {e^{x}-1} \over {x} } } = \lim_{t \to 0}{ { {t} \over {\ln{(t+1)}} } } = \lim_{t \to 0}{ { {1} \over {{ {1} \over {t} }\ln{(t+1)}} } } = \lim_{t \to 0}{ { {1} \over {\ln{(t+1)^{{ {1} \over {t} }}}} } } = { {1} \over {\ln{e}} } = 1 $$

$$ \text{ii) } \lim_{x \to 0}{ { {a^{x}-1} \over {x} } } $$

$$ a^{x}-1 = t \text{라고 하면 } x = \log_{a}{(t+1)} \text{,} $$

$$ x \to 0 \text{일때, } t \to 0 \text{이므로} $$

$$ \lim_{x \to 0}{ { {a^{x}-1} \over {x} } } = \lim_{t \to 0}{ { {t} \over {\log_{a}{(t+1)}} } } = \lim_{t \to 0}{ { {t} \over {{ {\ln{(t+1)}} \over {\ln{a}} } } } } = \lim_{t \to 0}{ { {\ln{a}} \over {\ln{(t+1)^{{ {1} \over {t} }}}} } } = \ln{a} $$

 따라서 i)은 a=e인 ii)의 특수한 경우이다.

$$ \text{iii) } \lim_{x \to 0}{ { {\ln{(x+1)}} \over {x} } } $$

$$ \lim_{x \to 0}{ { {\ln{(x+1)}} \over {x} } } = \lim_{x \to 0}{ \ln{(x+1)^{{ {1} \over {x} }}} } = \ln{e} = 1 $$

$$ \text{iv) } \lim_{x \to 0}{ { {\log_{a}{(x+1})} \over {x} } } $$

$$ \lim_{x \to 0}{ { {\log_{a}{(x+1})} \over {x} } } = \lim_{x \to 0}{ { {\ln{(x+1})} \over {x\ln{a}} } } = { {1} \over {\ln{a}} } \lim_{x \to 0}{ { {\ln{(x+1})} \over {x} } } = { {1} \over {\ln{a}} } $$

 따라서 iii)은 a=e인 iv)의 특수한 경우이다.

활용 예시

$$ \lim_{x \to 0}{ { {5^{4x}-1} \over {x} } } = \lim_{x \to 0}{ \left( { {5^{\color{Red}{4x}}-1} \over {\color{Red}{4x}} } \times \color{Blue}{4} \right) } = \color{Blue}{4} \times \ln{5} = 4\ln{5} $$

 

 지금까지 지수함수와 로그함수의 극한에 대해 알아보았다. 이 극한은 지수함수와 로그함수를 미분할 때 다시 사용된다.

1

 

 

수학자들은 사물이 아니라 사물간의 관계를 다룬다. 따라서 그 관계가 변하지 않고 남아있는 한 자유롭게 어떤 사물을 다른 것으로 대체할 수 있다. 그들에게 내용은 상관없다. 오직 형식에만 관심이 있다.

-푸앵카레

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