미분과 적분(26)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 고등학교에서 여러 삼각함수를 다룬다. 이들은 주기함수이고, 모든 구간에서 연속인 함수도 있고 그렇지 않은 함수도 있다. 일반적으로 삼각함수에 극한을 취하면 함숫값을 극한으로 가진다. 그렇다면 (sinx)/x에 x가 0으로 가는 극한을 취하면 어떻게 될까? sin0=0이므로 극한값이 0이라고 생각할 수도 있다. 그러나 이 식은 0/0 꼴이므로 부정형이므로 바로 극한의 수렴성을 판단할 수 없다. 이 극한은 수렴할까 발산할까? 다음 그림을 보며 알아보자.

증명 -sinx/x의 극한

$$ 0<\alpha<{ {\pi} \over {2} } \text{, } -{ {\pi} \over {2} }<\alpha<0 $$

 우리는 이 증명에 있어 우극한과 좌극한으로 경우를 나누어 생각해 볼 수 있다. 이 극한을 증명함에 있어 우극한 하나만 증명하고 증명을 다했다는 경우가 많은데, 이전에 다루었듯이 극한값은 우극한의 극한값과 좌극한의 극한값이 같은 경우에 수렴한다고 하였으므로 반쪽짜리 증명이라고 할 수 있다. 증명은 두 삼각형과 부채꼴의 넓이의 대소 관계를 이용할 것이다.

보조정리 1 -도형의 넓이

삼각형 ABC의 넓이를 S_1, 반지름이 r, 중심각이 theta인 부채꼴의 넓이를 S_2라고 하면,
$$ S_{1} = { {1} \over {2} } ab\sin{C} = { {1} \over {2} } bc\sin{A} = { {1} \over {2} } ac\sin{B} = { {1} \over {2} } \left( \text{밑변} \right) \times \left( \text{높이} \right) $$
$$ S_{2} = { {1} \over {2} }r^{2} \theta $$

보조정리 2 -샌드위치 정리(극한의 대소 관계)

세 함수 f(x), g(x), h(x)에 대하여
$$ f \left( x \right) < h \left( x \right) < g \left( x \right) \text{이면} $$
$$ \lim_{x \to a}{ f \left( x \right) } < \lim_{x \to a}{ h \left( x \right) } < \lim_{x \to a}{ g \left( x \right) } $$

 

case 1 -우극한 증명

 좌측의 그림을 통해 우극한을 증명할 수 있다. 그림과 같이 좌표평면 상의 중심이 O(0, 0)이고 반지름이 1인 원 O 위의 점 A(1, 0)에 대하여 원 O 위의 한 점 B를 각 AOB의 크기가 0 초과 pi/2 미만이 되도록 잡는다. 이때 점 A에서 x축에 수직으로 그은 직선이 선분 OB의 연장선과의 교점을 C, 각 AOB의 크기를 alpha라 하자.

  i). 삼각형 AOB의 넓이

삼각형 AOB의 넓이를 S_1이라고 하자.

선분 AO, 선분 BO는 원 O의 반지름이므로

$$ \overline{ \mathrm{AO} } = \overline{ \mathrm{BO} } = 1 $$

$$ S_{1} = { {1} \over {2} } \overline{ \mathrm{AO} } \times \overline{ \mathrm{BO} } \sin{\alpha} = { {1} \over {2} } \sin{\alpha} $$

 

  ii). 삼각형 AOC의 넓이

삼각형 AOC의 넓이를 S_2이라고 하면

$$ { {\overline{ \mathrm{AC} }} \over {\overline{ \mathrm{AO} }} } = \tan{\alpha} \text{이므로} $$

$$ \overline{ \mathrm{AC} } = \overline{ \mathrm{AO} } \tan{\alpha} = \tan{\alpha} $$

$$ S_{2} = { {1} \over {2} } \overline{ \mathrm{AO} } \times \overline{ \mathrm{AC} } = { {1} \over {2} } \tan{\alpha} $$

 

  iii). 부채꼴 AOB의 넓이

부채꼴 AOB의 넓이를 S_3이라고 하면

$$ S_{3} = { {1} \over {2} } \times 1^{2} \times \alpha = { {1} \over {2} } \alpha $$

$$ \text{이때, } S_{1} < S_{3} < S_{2} \text{이므로} $$

i), ii), iii)에 의하여

$$ { {1} \over {2} } \sin{\alpha} < { {1} \over {2} } \alpha < { {1} \over {2} } \tan{\alpha} $$

$$ { {1} \over {2} } \sin{\alpha} < { {1} \over {2} } \alpha \text{, } { {1} \over {2} } \alpha < { {1} \over {2} } \tan{\alpha} = { {\sin{\alpha}} \over {2\cos{\alpha}} } $$

$$ 0 < \alpha < { {\pi} \over {2} } \text{이므로 } \sin{\alpha}>0, \tan{\alpha} > 0 $$

$$ { {\sin{\alpha}} \over {\alpha} } < 1 \text{, } \cos{\alpha} < { {\sin{\alpha}} \over {\alpha} } $$

$$ \cos{\alpha} < { {\sin{\alpha}} \over {\alpha} } < 1 $$

$$ \lim_{\alpha \to 0+}{ \cos{\alpha} } \le \lim_{\alpha \to 0+}{ { {\sin{\alpha}} \over {\alpha} } } \le 1 $$

$$ \text{이때, } \lim_{\alpha \to 0+}{ \cos{\alpha} } = 1 \text{이므로 } $$

샌드위치 정리에 의하여

$$ \lim_{\alpha \to 0+}{ { {\sin{\alpha}} \over {\alpha} } } = 1 $$

case 2 -좌극한 증명

 우측의 그림을 통해 좌극한을 증명할 수 있다. 그림에 약간 오류가 있다. 그림에서 각이 표시되지 않은 부분의 각 AOB의 크기가 alpha이다. 그림과 같이 좌표평면 상의 중심이 O(0, 0)이고 반지름이 1인 원 O 위의 점 A(1, 0)에 대하여 원 O 위의 한 점 B를 각 AOB의 크기가 -pi/2 초과 0 미만이 되도록 잡는다. 이때 점 A에서 x축에 수직으로 그은 직선이 선분 OB의 연장선과의 교점을 C, 각 AOB의 크기를 alpha라 하자.

  i). 삼각형 AOB의 넓이

삼각형 AOB의 넓이를 S_1이라고 하자.

선분 AO, 선분 BO는 원 O의 반지름이므로

$$ \overline{ \mathrm{AO} } = \overline{ \mathrm{BO} } = 1 $$

$$ S_{1} = { {1} \over {2} } \overline{ \mathrm{AO} } \times \overline{ \mathrm{BO} } \sin{\left( -\alpha \right)} = { {1} \over {2} } \sin{\left( -\alpha \right)} $$

 

  ii). 삼각형 AOC의 넓이

삼각형 AOC의 넓이를 S_2이라고 하면

$$ { {\overline{ \mathrm{AC} }} \over {\overline{ \mathrm{AO} }} } = \tan{\left( -\alpha \right)} \text{이므로} $$

$$ \overline{ \mathrm{AC} } = -\overline{ \mathrm{AO} } \tan{\left( -\alpha \right)} = \tan{\left( -\alpha \right)} $$

$$ S_{2} = { {1} \over {2} } \overline{ \mathrm{AO} } \times \overline{ \mathrm{AC} } = { {1} \over {2} } \tan{\left( -\alpha \right)} $$

 

  iii). 부채꼴 AOB의 넓이

부채꼴 AOB의 넓이를 S_3이라고 하면

$$ S_{3} = { {1} \over {2} } \times 1^{2} \times \left( -\alpha \right) = -{ {1} \over {2} } \alpha $$

$$ \text{이때, } S_{1} < S_{3} < S_{2} \text{이므로} $$

$$ { {1} \over {2} } \sin{\left( -\alpha \right)} < -{ {1} \over {2} } \alpha < { {1} \over {2} } \tan{\left( -\alpha \right)} $$

부등식을 정리하면

$$ \cos{\left( -\alpha \right)} < { {\sin{\left( -\alpha \right)}} \over {-\alpha} } < 1 $$

$$ \cos{\left( -\alpha \right)} = \cos{\alpha} \text{, } \sin{\left( -\alpha \right)} = -\sin{\alpha} \text{이므로} $$

$$ \cos{\alpha} < { {\sin{\alpha}} \over {\alpha} } < 1 $$

$$ \lim_{\alpha \to 0-}{ \cos{\alpha} } \le \lim_{\alpha \to 0-}{ { {\sin{\alpha}} \over {\alpha} } } \le 1 $$

$$ \text{이때, } \lim_{\alpha \to 0-}{ \cos{\alpha} } = 1 \text{이므로 } $$

샌드위치 정리에 의하여

$$ \lim_{\alpha \to 0-}{ { {\sin{\alpha}} \over {\alpha} } } = 1 $$

$$ \therefore \text{case 1, case 2에 의하여 } \lim_{\alpha \to 0}{ { {\sin{\alpha}} \over {\alpha} } } = 1 $$

 다음 그림은 좌표평면 상에 나타낸 y=sinx/x의 그래프이다.

$$ y = { {\sin{x}} \over {x} } $$

따름 정리 -tanx/x의 극한

 앞서 sinx/x의 극한을 증명했다. 이 증명에서 tanx/x의 극한이 따라 나온다. 다음은 tanx/x의 극한값을 유도하는 과정이다.

$$ \lim_{x \to 0}{ { {\tan{x}} \over {x} } } = \lim_{x \to 0}{ { {\sin{x}} \over {x\cos{x}} } } = \lim_{x \to 0}{ { {\sin{x}} \over {x} } \times { {1} \over {\cos{x}} } } $$

$$ \text{이때, } \lim_{x \to 0}{ { {\sin{x}} \over {x} } } = 1, \lim_{x \to 0}{ { {1} \over {\cos{x}} } } = 1 \text{이므로} $$

$$ \lim_{x \to 0}{ { {\tan{x}} \over {x} } } = 1 $$

 다음 그림은 좌표평면 상에 나타낸 y=tanx/x의 그래프이다.

$$ y = { {\tan{x}} \over {x} } $$

활용

$$ \lim_{x \to 0}{ { {\sin{4x}} \over {x} } } = \lim_{x \to 0}{ { {\sin{\color{Red}{4x}}} \over {\color{Red}{4x}} } \times \color{Blue}{4} } = 1 \times 4 = 4 $$

 이 두 극한에 의하여 파생되는 여러 극한이 있다. 이들을 이용하면 삼각함수로 나타내어진 극한을 간단하게 계산할 수 있다. 이러한 극한의 수렴값을 알아야 하는 이유는 기본적으로 로피탈의 정리를 이용하면 고등학교에서 나오는 수렴하는 극한 중 부정형인 경우의 대부분은 극한값을 구할 수 있다. 그러나 삼각함수는 로피탈의 정리를 통해 극한값을 구하는 것이 힘들다.^[각주:1] 그러므로 본문의 두 극한을 이용하여 극한을 계산하는 방법을 아는 사람과 모르는 사람 간의 삼각함수로 이루어진 극한의 계산 속도는 꽤 차이가 난다.

 

 

 

수학은 사고를 절약하는 과학이다.

-칸토어

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1. 이에 대해서는 다음 글에서 이유를 밝힐 것이다. [본문으로]