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수학/고등학생을 위한 수학

미분과 적분(21)

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※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.


 앞서 음함수의 미분법의 공식을 유도하였다. 다섯 번째 미분 공식은 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법이다. 매개변수로 나타낸 함수의 미분법은 필자가 생각하기에 상황에 따라 적절히 사용하면 6가지 미분법 중 합성함수의 미분법을 제외하고 가장 편하게 미분할 수 있게 해주는 미분법이라고 본다. 그러므로 이 방법에 대해 익숙해지면 두고두고 써먹을 때가 많을 것이다.

$$ \text{매개변수 } t \text{로 나타내어진 함수 } x=f(t) \text{, } y=g(t) $$

위 함수의 조건

$$ x \text{, } y \text{가 } t \text{에 대해 미분가능하고, } f^{\prime}(t) \ne 0 $$

$$ \text{연쇄정리에 의하여 } { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!t} } = { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } \cdot { {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!t} } \text{이므로} $$

$$ { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {{ {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!t} }} \over {{ {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!t} }} } $$

$$ \begin{matrix} \end{matrix} $$

$$ \therefore { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {{ {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!t} }} \over {{ {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!t} }} } = { {g^{\prime}(t)} \over {f^{\prime}(t)} } $$

활용 예시

$$ x^{2}+y^{2} = 1 $$

 삼각함수를 이용하면 반지름이 원의 방정식을 매개변수로 표현할 수 있다.

$$ x= \cos{\theta} \text{, } y = \sin{ \theta} $$

$$ { {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!\theta} } = -\sin{\theta} \text{, } { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!\theta} } = \cos{\theta} \text{이므로} $$

$$ { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {\cos{\theta}} \over {-\sin{\theta}} } = -\cot{\theta} $$

이처럼 매개변수를 활용하여 음함수를 더욱 간단하게 만들면 더욱 쉽게 미분계수를 구할 수 있다. 주로 사용하는 예는 다음과 같다.

$$ x^{2}+y^{2} = r^{2} \to x = { {\cos{t}} \over {r} } \text{, } y = { {\sin{t}} \over {r} } $$

$$ { {x^{2}} \over {a^{2}} } + { {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 \to x = a \sin{t} \text{, } y = b \cos{t} $$

$$ { {x^{2}} \over {a^{2}} } - { {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 \to x = { {a \left( e^{x}+e^{-x} \right)} \over {2} } \text{, } y = { {b \left( e^{x}-e^{-x} \right)} \over {2} } $$

$$ { {x^{2}} \over {a^{2}} } - { {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 \to x =a \sec{t} \text{, } y = b \tan{t} $$

 

 

 

거의 모든 것이 곧 수학문제라고 할 수 있다.

-욘 스키에츠카


 

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