미분과 적분(21)

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 앞서 음함수의 미분법의 공식을 유도하였다. 다섯 번째 미분 공식은 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법이다. 매개변수로 나타낸 함수의 미분법은 필자가 생각하기에 상황에 따라 적절히 사용하면 6가지 미분법 중 합성함수의 미분법을 제외하고 가장 편하게 미분할 수 있게 해주는 미분법이라고 본다. 그러므로 이 방법에 대해 익숙해지면 두고두고 써먹을 때가 많을 것이다.

$$\text{매개변수 } t \text{로 나타내어진 함수 } x=f(t) \text{, } y=g(t)$$

위 함수의 조건

$$x \text{, } y \text{가 } t \text{에 대해 미분가능하고, } f^{\prime}(t) \ne 0$$

$$\text{연쇄정리에 의하여 } { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!t} } = { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } \cdot { {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!t} } \text{이므로}$$

$${ {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {{ {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!t} }} \over {{ {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!t} }} }$$

$$\begin{matrix} \end{matrix}$$

$$\therefore { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {{ {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!t} }} \over {{ {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!t} }} } = { {g^{\prime}(t)} \over {f^{\prime}(t)} }$$

활용 예시

$$x^{2}+y^{2} = 1$$

 삼각함수를 이용하면 반지름이 원의 방정식을 매개변수로 표현할 수 있다.

$$x= \cos{\theta} \text{, } y = \sin{ \theta}$$

$${ {\operatorname{d}\!x} \over {\operatorname{d}\!\theta} } = -\sin{\theta} \text{, } { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!\theta} } = \cos{\theta} \text{이므로}$$

$${ {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {\cos{\theta}} \over {-\sin{\theta}} } = -\cot{\theta}$$

이처럼 매개변수를 활용하여 음함수를 더욱 간단하게 만들면 더욱 쉽게 미분계수를 구할 수 있다. 주로 사용하는 예는 다음과 같다.

$$x^{2}+y^{2} = r^{2} \to x = { {\cos{t}} \over {r} } \text{, } y = { {\sin{t}} \over {r} }$$

$${ {x^{2}} \over {a^{2}} } + { {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 \to x = a \sin{t} \text{, } y = b \cos{t}$$

$${ {x^{2}} \over {a^{2}} } - { {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 \to x = { {a \left( e^{x}+e^{-x} \right)} \over {2} } \text{, } y = { {b \left( e^{x}-e^{-x} \right)} \over {2} }$$

$${ {x^{2}} \over {a^{2}} } - { {y^{2}} \over {b^{2}} } = 1 \to x =a \sec{t} \text{, } y = b \tan{t}$$

 

 

 

거의 모든 것이 곧 수학문제라고 할 수 있다.

-욘 스키에츠카

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