미분과 적분(19)

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 앞서 몫의 미분 공식을 유도하였다. 세 번째 미분 공식은 합성함수의 미분법이다. 합성함수의 미분법은 필자가 생각하지에 6가지 미분법 중에 가장 편리하고, 또 가장 중요하다고 생각하는 미분법이다. 합성함수의 미분법은 Chain Rule, 즉 연쇄법칙에 의해 성립함을 보일 수 있다. 다음 유도 과정을 보자.

$$ h(x) = f(u) \text{, } u = g(x) $$

합성함수의 미분-연쇄법칙

$$ { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!u} } \cdot { {\operatorname{d}\!u} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } $$

$$ \text{미분가능한 두 함수 } y=f(u) \text{, } u=g(x) \text{에 대하여} $$

$$ u=g(x) \text{가 미분가능하므로} $$

$$ \lim_{\mathit{\Delta} x \to 0}{ { {\mathit{\Delta} u} \over {\mathit{\Delta} x} } } = g^{\prime}(x) $$

$$ e_{1} = { {\mathit{\Delta} u} \over {\mathit{\Delta} x} }-g^{\prime}(x) \text{라고 하면} $$

$$ \mathit{\Delta} u = \left\{ g^{\prime}(x)+e_{1} \right\} \mathit{\Delta} x \text{, } \lim_{\mathit{\Delta} x \to 0}{ e_{1} } = 0 $$

$$ \text{또한 } y=f(u) \text{가 미분가능하므로} $$

$$ \lim_{\mathit{\Delta} u \to 0}{ { {\mathit{\Delta} y} \over {\mathit{\Delta} u} } } = f^{\prime}(u) $$

$$ e_{2} = { {\mathit{\Delta} y} \over {\mathit{\Delta} u} }-f^{\prime}(u) \text{라고 하면} $$

$$ \mathit{\Delta} y = \left\{ f^{\prime}(u)+e_{2} \right\} \mathit{\Delta} u \text{, } \lim_{\mathit{\Delta} u \to 0}{ e_{2} } = 0 $$

$$ \text{이때, } \mathit{\Delta} y = \left\{ f^{\prime}(u)+e_{2} \right\} \left\{ g^{\prime}(x)+e_{1} \right\} \mathit{\Delta} x $$

$$ \left( \because \mathit{\Delta} u = \left\{ g^{\prime}(x)+e_{1} \right\} \mathit{\Delta} x \right) \text{이므로} $$

$$ { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = \lim_{\mathit{\Delta} x \to 0}{ { {\mathit{\Delta} y} \over {\mathit{\Delta} x} } } = \lim_{\mathit{\Delta} x \to 0}{ \left\{ f^{\prime}(u)+e_{2} \right\} \left\{ g^{\prime}(x)+e_{1} \right\} } $$

$$ \mathit{\Delta} x \to 0 \text{일때, } \mathit{\Delta} u \to 0 $$

$$ \left( \because \lim_{\mathit{\Delta} x \to 0}{ \mathit{\Delta} x \to 0 \text{일때, } { {\mathit{\Delta} u} \over {\mathit{\Delta} x} } } = g^{\prime}(x) \text{이고 } (\text{분모}) \to 0 \text{이므로 } (\text{분자}) \to 0 \right) \text{이므로} $$

$$ \lim_{\mathit{\Delta}x \to 0}{ \left\{ f^{\prime}(u)+e_{2} \right\} } = \lim_{\mathit{\Delta} u \to 0}{ \left\{ f^{\prime}(u)+e_{2} \right\} } = f^{\prime}(u) \text{,} \lim_{\mathit{\Delta}x \to 0}{ \left\{ g^{\prime}(x)+e_{1} \right\} } = g^{\prime}(x) $$

$$ \text{따라서 } \lim_{\mathit{\Delta} x \to 0}{ \left\{ f^{\prime}(u)+e_{2} \right\} \left\{ g^{\prime}(x)+e_{1} \right\} } = f^{\prime}(u)g^{\prime}(x) \text{이므로} $$

$$ h^{\prime}(x) = f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x) $$

$$ \text{이때, } h^{\prime}(x) = { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } \text{, } f^{\prime}(g(x)) = { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!u} } \text{, } g^{\prime}(x) = { {\operatorname{d}\!u} \over {\operatorname{d}\!x} } \text{라고 할수 있으므로} $$

$$ { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!x} } = { {\operatorname{d}\!y} \over {\operatorname{d}\!u} } \cdot { {\operatorname{d}\!u} \over {\operatorname{d}\!x} } $$

 지금까지 합성함수의 미분 공식을 유도하였다. 위의 유도과정은 연쇄법칙의 증명과정과 동일하다. 여기서 특별히 dy/du du/dx = dy/dx 관계를 연쇄법칙이라고 한다. 또한 dy/du를 겉미분, du/dx를 속미분이라고 부르기도 한다. 여러 개의 함수가 합성되어 있는 함수 또한 연쇄법칙을 이용하면 간단하게 미분이 가능하다. 참고로 고등학교 교과서 중 일부는 합성함수의 미분법 증명과정이 있을 것인데 아마 위 증명과 대부분 다를 것이다. 대부분 도함수의 정의 형태를 만들어 내어 증명하는 경우가 많은데 이렇게 할 경우 몇 가지 특수한 경우에 이용할 수 없다는 단점이 있다. 아래 접은 글은 교과서에 있는 증명이다.

$$ \lim_{x_{1} \to x}{ { {f(g(x_{1}))-f(g(x))} \over {x_{1}-x} } } = \lim_{x_{1} \to x}{ \left\{ { {f(g(x_{1}))-f(g(x))} \over {g(x_{1})-g(x)} } \times { {g(x_{1})-g(x)} \over {x_{1}-x} } \right\} } = f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x) $$

합성함수의 미분법 적용 예시

$$ f(x) = \left( 4x-7 \right)^{4} $$

$$ f^{\prime}(x) = 4 \left( 4x-7 \right)^{3} \times 4 = 16 \left( 4x-7 \right)^{3} $$

$$ g(x) = \left\{ (x^{2}+3x-1)^{3}-(x^{2}+3x-1)^{2}+4 \right\}^{7} $$

$$ \begin{matrix} g^{\prime}(x) &=& 7 \left\{ (x^{2}+3x-1)^{3}-(x^{2}+3x-1)^{2}+4 \right\}^{6} \times \left\{ 3(x^{2}+3x-1)^{2}-2(x^{2}+3x-1) \right\} \times (2x+3) \\ &=& 7 \left\{ (x^{2}+3x-1)^{3}-(x^{2}+3x-1)^{2}+4 \right\}^{6} \left\{ 3(x^{2}+3x-1)^{2}-2(x^{2}+3x-1) \right\} (2x+3) \end{matrix} $$

주의

 합성함수 미분에 나오는 dy/dx, dy/du, du/dx는 하나의 표현일 뿐이지 분수가 아니다. 가끔 이를 분수라고 얘기하는 사람들이 합성함수 미분, 연쇄법칙은 이 둘을 약분하는 것이라고 하는데 아니다. 형태도 분수 꼴이고, 분수와 유사한 성질을 많이 가지고 있어 분수처럼 취급할 뿐이다.

합성함수의 미분법과 관련되어 있는 것들

 합성함수의 미분법은 다양한 것들과 관련되어 있다. 미분에서도 역함수의 미분법, 음함수의 미분법은 합성함수의 미분법과 밀접한 관련이 있으며, 적분에서는 치환적분법과 관련되어 있다.[foornote]이들에 대해 자세하게는 추후 다룰 것이다.[/footnote] 다음에 다룰 주제 또한 연쇄법칙과 관련이 있다.

 

 

 

수학을 다룰 줄 모르는 인간은 온전한 인간이 아니다. 기껏해야 그는 신발 신기, 목욕하기, 집안 정리하기나 배운 괜찮은 유인원일 뿐이다.

-로버트 하인라인

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