미분과 적분(18)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

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 앞서 곱의 미분 공식을 유도하였다. 두 번째 미분 공식은 몫의 미분법이다. 몫의 미분법은 분모에 변수가 들어있는 형태의 함수를 미분할 때 사용한다. 이때 함수의 형태가 두 함수가 나누어진 형태로 몫을 가지는데 이를 미분한다고 하여 몫의 미분법이라 부른다. 다음은 몫의 미분법을 유도하는 과정이다.

몫의 미분 유도

$$g(x) = { {1} \over {f(x)} } ( f(x) \ne 0 )$$

$$\begin{matrix} g^{\prime}(x) &=& \lim_{h \to 0}{ {g(x+h)-g(x)} \over {h} } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {{ {1} \over {f(x+h)} }-{ {1} \over {f(x)} }} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ { {{ {f(x)-f(x+h)} \over {f(x)f(x+h)} }} \over {h} } } \\ &=& \lim_{h \to 0}{ \left\{ { {f(x+h)-f(x)} \over {h} } \times \left( -{ {1} \over {f(x)f(x+h)} } \right) \right\} } \\ &=& f^{\prime}(x) \times \left( -{ {1} \over {\left\{f(x)\right\}^{2}} } \right) \\ && \left( \because \lim_{h \to 0}{ f(x+h) } = f(x) \ne 0 \text{, } \lim_{h \to 0}{ { {f(x+h)-f(x)} \over {h} } } = f^{\prime}(x) \right) \\ &=& -{ {f^{\prime}(x)} \over {\left\{ f(x) \right\}^{2}} } \end{matrix}$$

$$\therefore g^{\prime}(x) = -{ {f^{\prime}(x)} \over {\left\{ f(x) \right\}^{2}} }$$

$$h(x) = { {g(x)} \over {f(x)} }$$

$$\begin{matrix} h^{\prime}(x) &=& \left\{ { {g(x)} \over {f(x)} } \right\}^{\prime} \\ &=& g^{\prime}(x) \times { {1} \over {f(x)} } +f(x) \times \left\{ { {1} \over {f(x)} } \right\}^{\prime} \\ && \left( \because \text{곱의 미분법: } \left\{ A(x)B(x) \right\}^{\prime} = A^{\prime}(x)B(x)+A(x)B^{\prime}(x) \right) \\ &=& g^{\prime}(x) \times { {1} \over {f(x)} } +g(x) \times \left( -{ {f^{\prime}(x)} \over {\left\{ f(x) \right\}^{2}} } \right) \\ && \left( \because \text{몫의 미분법: } \left\{ { {1} \over {A(x)} } \right\}^{\prime} = -{ {A^{\prime}(x)} \over {\left\{ A(x) \right\}^{2}} } \right) \\ &=& { {g^{\prime}(x)} \over {f(x)} }-{ {g(x)f^{\prime}(x)} \over {\left\{ f(x) \right\}^{2}} } \\ &=& { {g^{\prime}(x)f(x)-g(x)f^{\prime}(x)} \over {\left\{ f(x) \right\}^{2}} } \end{matrix}$$

$$\therefore h^{\prime}(x) = { {g^{\prime}(x)f(x)-g(x)f^{\prime}(x)} \over {\left\{ f(x) \right\}^{2}} }$$

 지금까지 몫의 미분 공식을 유도하였다. 몫의 미분법은 삼각함수를 미분할 때 특히 유용하게 사용된다.

주의할 점

 몫의 미분법에 대해 배우고 난 후 일부는 몫의 미분 두 번째 공식을 잘못 외우기도 한다. 그 이유는 대부분 곱의 미분법과 헷갈렸기 때문이다. 곱의 미분은 항이 더해지지만 몫의 미분에서는 빼진다. 이 부분을 제외하고는 공식의 형태가 유사하다. 헷갈리는 경우 몫의 미분 첫 번째 공식만 외우고, 나머지 연산은 곱의 미분을 이용해 처리하기도 한다. 몫의 미분에 익숙해지면 이후 연산을 편리하게 할 수 있으므로 가능하면 외워놓길 바란다.

n차 다항함수의 미분

 이전에 n차 다항식의 미분에 대해 다뤘었다. 이때 차수의 범위는 음이 아닌 정수인데, 몫의 미분법을 이용하면 차수의 범위를 정수까지 확장할 수 있다.

$$f(x) = x^{p}$$

$$p=-n \left( n \in N \right) \text{라고 하면}$$

$$f(x) = x^{-n} = { {1} \over {x^{n}} }$$

$$\begin{matrix} f^{\prime}(x) &=& \left( { {1} \over {x^{n}} } \right)^{\prime} \\ &=& -{ {nx^{n-1}} \over {x^{2n}} } \\ &=& -nx^{n-1-2n} \\ &=& -nx^{-n-1} \\ &=& px^{p-1} \end{matrix}$$

$$\therefore p \text{가 정수일때, } \left( x^{p} \right)^{\prime} = px^{p-1} \text{가 성립한다.}$$

 

 

 

수학이 어렵다고 해서 걱정하지 마세요. 장담컨데, 나는 여러분보다 훨씬 더 수학이 어려웠으니까요.

-알베르트 아인슈타인

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