미분과 적분(15)

※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.

---

 앞서 연속함수가 가지는 성질에 대해 알아보았다. 미분가능한 함수 또한 중간값 정리와 유사한 성질을 가진다. 여기서는 이러한 성질에 대해 알아볼 것이다.

롤의 정리

롤의 정리는 다음과 같이 서술할 수 있다.

$$ \text{닫힌구간 } [a \text{, } b ] \text{에서 미분가능한 함수 } f(x) \text{에 대하여} $$
$$ f(a) = f(b) \text{이면 } f^{\prime}(c) = 0 \text{인 } c \text{가 열린구간 } (a \text{, } b) \text{ 안에 존재한다.} $$

 간단히 말하면  특정 구간 안에서 미분가능한 함수가 구간 안에서 양끝 함숫값이 같으면 미분계수가 0인 지점이 구간 내에 적어도 하나 존재한다는 것이다. 아래 그래프를 통해 롤의 정리에 대해 알아보자.

 양끝 함숫값이 같은 적당한 구간을 잡으면 위와 같은 경우가 나온다. 위 경우는 다음 두 경우로 나눌 수 있다.

• 주어진 구간에서 함숫값이 변하지 않는 경우
• 주어진 구간에서 함숫값이 변하는 경우

 함숫값이 변하지 않는 경우에는 구간 내 모든 점에서 미분계수가 0이다. 수식을 통해 서술하면 다음과 같다.

$$ \text{닫힌구간 } [a \text{, } b] \text{에서 정의된 함수 } f(x) = k (k \text{는 상수}) \text{에 대하여} $$

$$ f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0}{ { {f(x+h)-f(x)} \over {h} } } = \lim_{h \to 0}{ { {k-k} \over {h} } }  = \lim_{h \to 0}{ { {0} \over {h} } } = 0 \text{이므로} $$

$$ f^{\prime}(c) = 0 \text{인 } c \text{가 열린구간 } (a \text{, } b) \text{ 사이에 존재한다.} $$

 함숫값이 변하는 경우에는 구간 내 함숫값의 초기값에서 함숫값이 증가한 만큼 다시 감소해야 하며, 감소한 만큼 다시 증가해야 한다. 이때 구간 내 모든 정의역에서 함수가 미분가능하므로 증가하다가 감소하거나 감소하다가 증가하는 지점에서 미분계수는 0이다. 이를 수식을 통해 이해하기 위해서는 최대 최소 정리에 대해 알아야 한다^[각주:1]. 최대 최소 정리는 다음과 같이 서술된다.

$$ \text{닫힌구간 } [a \text{, } b] \text{에서 정의된 연속함수 } f(x) \text{는 닫힌구간 } [a \text{, } b] \text{에서 최댓값과 최솟값을 항상 가진다.} $$

평균값 정리

 평균값 정리는 다음과 같이 서술할 수 있다.

$$ \text{닫힌구간 } [a \text{, } b] \text{에서 정의되 연속함수 } f(x) \text{에 대하여 } $$
$$ \text{함수 } f(x) \text{가 열린구간 } (a \text{, } b) \text{에서 미분가능할때} $$
$$ \text{닫힌구간 } [a \text{, } b] \text{에서의 평균변화율 } { {f(b)-f(a)} \over {b-a} } = u \text{라고 하면} $$
$$ f^{\prime}(c) = u \text{인 } c \text{가 열린구간 } (a \text{, } b) \text{ 사이에 존재한다.} $$

 즉 주어진 구간에서 미분가능한 함수가 어떤 지점에서 미분계수의 값이 주어진 구간에서의 평균변화율과 같은 값을 가지도록 하는 지점이 주어진 구간 사이에 있다는 뜻이다. 수식을 통해 서술하면 다음과 같다.

$$ \text{닫힌구간 } [a \text{, } b] \text{에서 정의된 함수 } f(x) \text{에 대하여} $$

$$ \text{함수 } f(x) \text{가 열린구간 } (a \text{, } b) \text{에서 미분가능할 때} $$

$$ \text{두 점 } (a \text{, } f(a)) \text{, } (b \text{, } f(b)) \text{를 지나는 직선을 } l(x) \text{,} $$

$$ \text{직선 } l(x) \text{의 기울기 } { {f(b)-f(a)} \over {b-a} } = u \text{, } F(x) = f(x)-l(x) \text{라고 하면} $$

$$ \text{함수 } F(x) \text{는 닫힌구간 } [a \text{, } b] \text{에서 연속이고, 열린구간 } (a \text{, } b) \text{에서 미분가능하므로} $$

$$ \text{롤의 정리에 의하여 } F^{\prime}(c) = 0 \text{인 } c \text{가 열린구간 } (a \text{, } b) \text{ 사이에 존재한다.} $$

$$ \text{이때 } F^{\prime}(x) = f^{\prime}(x)-l^{\prime}(x) \text{이고, } l^{\prime}(x) = u \text{이므로} $$

$$ F^{\prime}(c) = f^{\prime}(c)-u = 0 $$

$$ f^{\prime}(c) = u $$

$$ \therefore f^{\prime}(c) = u \text{인 } c \text{가 열린구간 } (a \text{, }b) \text{ 사이에 적어도 하나 존재한다.} $$

여기서 몇몇 독자들은 아마 눈치챘을 것이다. 롤의 정리는 평균값 정리의 특수한 경우라는 것을. 롤의 정리는 평균값 정리에서 u=0인 경우이다.

 평균값 정리는 주로 미분을 활용하여 푸는 부등식에서 사용하는 경우가 많다. 특히 함수의 관계를 통한 부등식에서 쉽게 풀리지 않는 경우 평균값 정리를 활용하면 쉽게 풀리는 경우가 많으니 기억해두길 바란다. 다음에는 함수의 그래프의 계형을 유추하는 방법에 대해 알아볼 것이다.

 

 

 

수학 공부는 나일강 강물처럼 미세한 것에서 시작하여 엄청난 것으로 끝난다.

-콜턴

---

 

1. 가능하면 위의 그래프를 참고하여 직관적으로 이해하기 바란다. [본문으로]