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이전에 했어야 하는 주제이나 깜빡하고 빼먹은 내용이 있다. 고등학교 수학 수업에서는 사잇값 정리라고 배우는 중간값 정리이다. 여기서는 중간값 정리에 대해 알아볼 것이다.
중간값 정리는 주어진 구간에서 연속인 함수의 성질 중 하나를 말한다. 중간값 정리는 다음과 같이 서술된다.
$$ \text{연속함수 } f:\left[ a \text{, } b \right] \to R \text{에 대하여} $$
$$ f([a \text{, } b]) \supseteq [f(a) \text{, } f(b)] \cup [f(b) \text{, } f(a)] $$
(구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)의 구간 [a, b]에서의 치역은 f(a), f(b) 사이의 값을 포함한다.)
$$ \text{연속함수 } f:\left[ a \text{, } b \right] \to R \text{에 대하여} $$
$$ \forall u \in [f(a) \text{, } f(b)] \cup [f(b) \text{, } f(a)] \text{, } \exists c \in [a \text{, } b] \text{ s.t. } f(c) = u $$
(구간 [a, b])에서 연속인 함수 f(x)는 f(a), f(b) 사이의 임의의 값 u에 대하여 f(c)=u인 c가 구간 [a, b]에서 존재한다.)
주어진 구간에서 연속인 함수는 구간의 양끝 값에서의 함숫값 사이의 값을 함숫값으로 가지는 c가 주어진 구간 내에 적어도 하나 존재한다고 풀어 말할 수 있다. 이에 대한 증명은 고등학교에서는 서술하기 힘드므로 예를 통해 이해해 보도록 하자.
먼저 특정 구간에서 연속인 함수를 정의하자.
$$ f(x) = -{{1} \over {2}}x^{5} +x^{4} +{ {1} \over {5} }x^{3} -{ {1} \over {16} }x^{2} +{ {4} \over {5} }x -{ {2} \over {5} } $$
위 그래프에서 보이듯이 주어진 함수 f(x)는 닫힌구간 [E, F]에서 연속이다. 이 구간에서 함수의 치역1은 구간 [f(E), f(F)]2가 되기도 하고, 이 범위보다 커지기도 한다. 여기서 구간 [f(E), f(F)]3 사이의 값을 함숫값으로 가지게 하는 정의역 내의 원소4가 항상 존재함을 알 수 있다.
이 중간값 정리에 의해 다음의 따름 정리가 유도된다.
따름 정리 1 -볼차노 정리
볼차노 정리는 중간값 정리의 특수한 경우5이다. 볼차노 정리는 다음과 같이 서술 가능하다.
$$ \text{연속함수 } f:\left[ a \text{, } b \right] \to R \text{에 대하여} $$
$$ f(a)f(b)<0 \to \exists c \in [a \text{, } b] \text{ s.t. } f(c) = 0 $$
(구간 [a, b])에서 연속인 함수 f(x)는 f(a)f(b)<0이면 f(c)=0인 c가 구간 (a, b)에서 존재한다.)
즉 특정한 구간에서 함숫값의 곱이 음수이면 그 열린구간 내에 적어도 하나의 실근이 존재한다는 뜻이다. 고등학교에서 중간값 정리를 이용하는 문제는 거의 대부분 근의 존재성을 판별하기 위해 사용하기에 이 볼차노 정리를 이용하여 풀이한다.
따름 정리 2 -홀수차 실수 다항식의 근의 존재
홀수차 실수 다항식의 실근은 항상 존재함을 중간값 정리를 통해 보일 수 있다.
$$ \text{자연수 } n \text{에 대하여 } f(x) = a_{2n-1}x^{2n-1}+a_{2n-2}x_{2n-2}+a_{2n-3}x^{2n-3}+\cdots +a_{1}x+a_{0} $$
$$ (a_{2n-1} \text{, } a_{2n-2} \text{, } a_{2n-3} \text{, } \text{, } \cdots \text{, } a_{1} \text{, } a_{0} \in Re)\text{라고 하면}$$
$$ \text{i}) a_{2n-1}>0 \text{일때} $$
$$ \lim_{x \to \infty}{f(x)} = \infty \text{, } \lim_{x \to -\infty}{f(x)} = -\infty \text{,} $$
$$ \text{ii}) a_{2n-1}<0 \text{일때} $$
$$ \lim_{x \to \infty}{f(x)} = -\infty \text{, } \lim_{x \to -\infty}{f(x)} = \infty $$
$$ \text{이므로 중간값 정리에 의하여 함수 } f(x) \text{는 구간 } (-\infty \text{, } \infty) \text{에서 실근을 가진다.} $$
중간값 정리를 사용하는 문제는 주로 합답형 문제6에서 출제된다. 특히 수능에서 출제될 때는 대체로 20번 내지 21번에서 출제되는데, 이 정리를 쓰는 문제가 자주 출제되지 않다 보니 사용하면 쉽게 해결 가능한 것을 오래 끌고 있는 경우를 상당수 보았다. 이 정리는 직관적으로 이해하기 쉽지만 이 점 때문에 문제를 풀이할 때 생각이 안 나는 것 같다. 이 글을 보는 독자들이 이 정리를 사용하는 것 정도는 익숙해졌음 한다.
이 세상의 이치는 수학 지식 없이 알아낼 수가 없다.
-로저 베이컨
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