미분과 적분(12)

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 앞서 함수의 특정한 위치에서 미분계수를 정의하고 구하는 방법에 대해 알아보았다. 이때 미분계수 또한 정의역의 어떤 값이 다른 집합의 어떤 값을 가지는 함수 관계라고 볼 수 있음을 알 수 있다. 이와 같이 함수의 미분계수를 함수값으로 가지는 함수를 도함수라고 한다. 지금부터 이 도함수를 정의해보자.

 먼저 x=a에서 함수 f(x)의 미분계수의 정의는 다음과 같다.

$$ f^{\prime}(a) = \lim_{h \to 0}{ { {f(a+h)-f(a)} \over {h} } } $$

여기서 미분계수 f'(a)는 a에서 정의된 함수값이라고 볼 수 있다. 여기서 상수 a 대신 독립변수 x를 대입해주면 다음의 식이 도출된다.

$$ f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0}{ { {f(x+h)-f(x)} \over {h} } } $$

이 함수 f'(x)를 도함수라고 하며 위 식을 통해 도함수의 식을 도출해 낼 수 있다. 또한 이 도함수를 구하는 것을 미분한다고 한다. 함수 y=f(x)의 도함수는 다음과 같이 표기할 수 있다.

$$ f^{\prime}(x) \text{, } { {\operatorname{d} \!y} \over {\operatorname{d} \!x} } \text{, } { {\operatorname{d} \!} \over {\operatorname{d} \!x} } f(x) $$

 

 도함수의 정의역

 도함수 또한 함수이기에 정의역을 갖는다. 본래의 함수를 미분하여 나타낸 것이 도함수이다. 그럼 도함수는 본래의 함수와 정의역이 같을까? 물론 같다고 생각할 수도 있다. 그러나 이전에 다루었듯이 모든 함수에 대하여 항상 미분계수가 존재하는 것은 아니었다. 도함수가 미분계수를 함수값으로 가지는 함수인데, 정의역만 존재하고 함숫값이 존재하지 않으면 함수가 아니지 않는가. 그러므로 도함수는 함수가 미분계수를 가지는 구간에서 정의된다.

다계도함수

 도함수 또한 함수라고 한다면 도함수의 도함수 또한 구할 수 있다. 이 도함수의 도함수, 즉 도함수를 미분하여 구한 함수를 이계도함수라고 한다. 이계도함수 또한 함수이며 정의역을 가진다. 물론 이계도함수는 도함수의 미분계수가 존재하는 정의역 구간 내에서 정의된다.^[각주:1] 함수 y=f(x)의 이계도함수는 다음과 같이 표기할 수 있다.

$$ f^{\prime\prime}(x) \text{, } { {\operatorname{d}^{2} \!y} \over {\operatorname{d} \!x^{2}} } \text{, } { {\operatorname{d}^{2} \!} \over {\operatorname{d} \!x^{2}} } f(x) $$

 

 이와 같은 방법으로 함수를 n번 미분하여 새로운 함수를 나타낼 수 있다. 이러한 함수를 n계도함수, 고계도함수라고 한다. 함수 y=f(x)의 n계도함수는 다음과 같이 표기할 수 있다..

$$ f^{(n)}(x) \text{, } { {\operatorname{d}^{n} \!y} \over {\operatorname{d} \!x^{n}} } \text{, } { {\operatorname{d}^{n} \!} \over {\operatorname{d} \!x^{n}} } f(x) $$

 

 다음글에서는 n차 다항함수의 도함수의 형태에 대하여 대하여 다룰 것이다.

 

 

 

만약 수학이 단순하다고 믿지 않는다면 그것은 사람들이 인생이 얼마나 복잡한지를 깨닫지 못하기 때문이다.

-존 폰 노이만

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1. 이 정의역의 구간에 대한 자세한 설명은 위와 같으므로 생략하겠다. [본문으로]