미분과 적분(10)

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 지금까지 극한이 무엇인지, 어떻게 극한을 계산하는지에 대해 알아보았다. 지금부터는 미분에 대해 알아볼 것이다. 미분이란 변수에 따라 변화하는 어떤 상태(또는 양)가 순간적으로 변화하는 정도, 즉 순간적인 변화율을 알아보기 위해 사용하는 계산법이다. 이러한 순간적인 변화율을 알아보기 위해 극한을 이용한다. 다음 그림을 보며 변화율에 대해 알아보자.

변화율

$$ f(x) = { {1} \over {8} }x^{2} $$

 변화율은 평균변화율과 순간변화율 두 가지로 나눌 수 있다. 평균변화율과 순간변화율은 다음과 같이 정의한다.

평균변화율

$$ \text{닫힌구간 } [a \text{, } b] \text{에서 함수 } f(x) \text{의 평균변화율} $$

$$ { {f(b) - f(a)} \over {b-a} } $$

순간변화율

$$ x=a \text{에서 함수 } f(x) \text{의 순간변화율} $$

$$ \lim_{b \to a}{ { {f(b) - f(a)} \over {b-a} } } $$

 

여기서 볼 수 있듯이 순간변화율은 평균변화율에 극한을 취한 형태이다. 바꿔 말해 구간의 크기를 가능한 작게 만들었을 때의 변화율이라고도 할 수 있겠다. 순간변화율은 다음과 같이 바꿔쓸 수 있다.

$$ b-a = \mathit{\Delta} x = h \text{라고 하면}$$

$$ b = a + \mathit{\Delta}x \text{, } a \to b \text{일때 } \mathit{\Delta}x \to 0 \text{이므로} $$

$$ \lim_{a \to b}{ { {f(b) - f(a)} \over {b-a} } } = \lim_{\mathit{\Delta}x \to 0}{ { {f(a + \mathit{\Delta}x) - f(a)} \over {\mathit{\Delta}x} } } $$

$$ \text{여기서 } \mathit{\Delta}x = h \text{라고 하면} $$

$$ \lim_{a \to b}{ { {f(b) - f(a)} \over {b-a} } } = \lim_{\mathit{\Delta}x \to 0}{ { {f(a + h) - f(a)} \over {h} } } $$

$$ \lim_{h \to 0}{ { {f(a+h)-f(a)} \over {h} } } = \lim_{x \to a}{ { {f(x)-f(a)} \over {x-a} } } $$

 이와 같이 정의된 순간변화율을 x=a에서 함수 f(x)의 미분계수라고 하고 이를 $$f^{\prime}(a)$$ 라고 표현한다. 또한 미분계수를 구하는 것을 '미분'한다고 한다. 위에 제시된 함수의 경우에는 (a, f(a))에서 접선의 기울기가 x=a에서의 미분계수와 같다. 여기서 주의할 점은 모든 함수의 미분계수가 접선의 기울기가 되는 것은 아니라는 것이다. 아래의 식, 미분계수의 정의를 잘 기억해두도록 하자. 이는 두고두고 사용하는 식이며, 문제에 따라 이를 이용하면 무척 간단히 풀 수 있는 문제도 많이 존재한다.

$$ f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0}{ { {f(a+h) - f(a)} \over {h} } } $$

 지금까지 변화율과 미분계수에 대하여 알아보았다. 다음에 알아볼 것은 미분계수와 연속의 관계에 대해 알아볼 것이다.

 

 

 

수학은 끊임없이 인간 정신을 찬사하는데 기여하고 있다.

-카를 야코비

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