미분과 적분(9)

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 앞서 급수에 대해 알아보았다. 여기에서는 (내신이든 모의고사든)시험에 자주 나오는 '무한급수'에 대해 다룰 것이다. 바로 '무한등비급수'이다.^[각주:1]

 먼저 급수의 수렴에 대해 알아보자. 이전에 '절대수렴'이라는 용어가 쓰이는 것을 보았을 것이다. 이에 대해 아는 독자들 또한 물론 있겠지만 대부분의 독자들은 모르리라 본다. 수렴하는 급수는 두가지로 나눌 수 있다. 바로 '절대수렴'과 '조건부수렴'이다. 간단하게 설명하면 급수의 항의 순서를 바꾸었을 때 수렴값이 달라지면 조건부수렴하는 급수이고, 항의 순서를 바꾸어도 수렴값이 달라지지 않을 때 절대수렴하는 급수라고 한다.^[각주:2] 그런데 여기서 갑자기 왜 절대수렴에 대해 언급했을까? 바로 조건에 따라 등비급수가 절대수렴하는 급수이기 때문이다.

 무한등비급수는 등비수열을 일반항으로 가지는 무한급수이다. 등비급수는 다음과 같은 식을 사용하여 표현할 수 있다.

$$ \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{a_{1}r^{k-1}} } $$

등비급수는 공비에 따라 급수의 수렴성을 판단할 수 있다. 이전에 등비수열의 수렴에 대해 다룬 적이 있다. 여기서 등비수열은 공비가 -1 초과 1 이하이면 수열이 수렴함을 보였다. 등비급수가 수렴할 조건도 등비수열이 수렴할 조건과 같을까? 다음을 보며 알아보자.

보조정리1

$$ \text{급수 } \sum_{n}^{\infty}{a_n} \text{이 수렴하면 } \lim_{n \to \infty}{ a_{n} } = 0 \text{이다.} $$

대우

$$ \lim_{n \to \infty}{ a_{n} } \ne 0 \text{이면 급수 } \sum_{n}^{\infty}{a_{n}} \text{도 발산한다.} $$

증명

$$ \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{a_{k}} } = L \text{라고 하면} $$

$$ \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n-1}{a_{k}} } = L $$

$$ \text{이때 } a_{n} = \sum_{k=1}^{n}{a_{k}} - \sum_{k=1}^{n-1}{a_{k}} \text{이므로} $$

$$ \begin{matrix} \lim_{n \to \infty}{a_{n}} &=& \lim_{n \to \infty}{ \left( \sum_{k=1}^{n}{a_{k}} - \sum_{k=1}^{n-1}{a_{k}} \right)} \\ &=& \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{a_{k}} } - \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n-1}{a_{k}} } \\ &=& L-L = 0 \end{matrix} $$

$$ \therefore \text{급수 } \sum_{n}^{\infty}{a_n} \text{이 수렴하면 } \lim_{n \to \infty}{ a_{n} } = 0 $$

위 명제가 참이므로 이 명제의 대우 또한 참이다.

 

$$ \text{등비급수} \lim_{n \to \infty}{ \sum_{k=1}^{n}{a_{1}r^{k-1}} } \text{에 대하여} $$

$$ \text{i) } a_{1} = 0 \text{일때} $$

$$ a_{n} = 0 \text{이므로 } \sum_{k=1}^{n}{a_{k}} = 0 $$

$$ \text{따라서 급수 } \sum_{n}^{\infty}{a_{n}} = 0 $$

$$ \text{ii) } a_{1} \ne 0 \text{, } \left| r \right| \ge 1 \text{일때} $$

$$ \lim_{n \to \infty}{a_{n}} \ne 0 \text{이므로 급수 } \sum_{n}^{\infty}{a_{n}} \text{은 발산한다.} $$

$$ \text{iii) } a_{1} \ne 0 \text{, } -1<r<1 \text{일때} $$

$$ a_{n} = a_{1}r^{n-1} $$

$$ S_{n} = \sum_{k=1}^{n}{a_{n}} = { {a_{1} \left( 1-r^{n} \right)} \over {1-r} } $$

$$ \lim_{n \to \infty}{S_{n}} = \lim_{n \to \infty}{ { {a_{1} \left( 1-r^{n} \right)} \over {1-r} } } $$

$$ \text{이때 } -1<r<1 \text{이므로 } \lim_{n \to \infty}{r^{n}} = 0 $$

$$ \text{따라서 } \lim_{n \to \infty}{S_{n}} = { {a_{1}} \over {1-r} } $$

$$ \therefore \text{i), ii), iii)에 의하여 등비급수 } \sum_{n}^{\infty}{a_{1}r^{n-1}} \text{가 수렴할 조건은} $$

$$ a_{1} = 0 \text{ 또는 } -1<r<1 \text{이고,} $$

$$ -1<r<1 \text{일때, 등비급수} \sum_{n}^{\infty}{a_{1}r^{n-1}} = { {a_{1}} \over {1-r} } \text{이다.} $$

 많은 학생들이 헷갈려하는 부분 중 하나가 바로 등비급수와 등비수열의 수렴조건이다. 하나만 배우면 쉽지만 유사한 것을 여럿 배우면 헷갈려한다.^[각주:3]

 등비급수와 함께 자주 나오는 것은 도형, 즉 기하와 관련지어 잘 출제된다. 특히 도형의 닮음과 연계되는 문제가 많은데 중학교에서는 닮음이 거의 간단한 형태만 나오는데다 중학교에서 닮음을 가장 많이 사용하는 피타고라스의 정리, 원과 비례 단원을 제대로 배우지 못하는 경우가 많아 이 파트를 상당히 힘들어하는 경우가 많았다. 도형과 연계된 등비급수 문제는 거의 모의고사 19번, 27번 정도에서 나오는데, 이는 어느정도 난이도 있는 4점 정도로 문제가 출제된다는 뜻처럼 보인다. 사실 이 문제는 난이도 자체는 대체로 심하게 어려운 경우는 잘 없고, 오히려 시간을 매우 잡아먹는다는 난점이 있다. 이 때문에 도형과 연계된 등비급수 문제는 최대한 효율적으로 빠르게 문제를 풀어야한다. 이를 빠르게 잘 풀어나가는 방법은 몇 가지가 있지만 대체로 중학교에서 배우는 닮음이나 중학교에서 배우던 원과 비례를 적절히 이용하면 조금 더 수월하게 해결할 수 있다.^[각주:4]

 

 

 

수학이란 보편적이며 의심할 여지가 없는 기술이다.

-윌리엄 벤저민 스미스

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1. 매우 중요한 개념들이 많이 나오므로 증명이 자주 나올 것이다. 증명을 반드시 볼 필요는 없으나 꼭 개념은 명확히 알고 갔으면 한다. [본문으로]
2. 이에 대한 자세한 내용은 추후 다루도록 하겠다. [본문으로]
3. 그래서 선생님들께서도 개념을 명확히 잡으라고 하시는 것이다. [본문으로]
4. 이에 대한 내용은 관련된 문제를 풀이할 때에도 언급할 것이다. [본문으로]