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앞서 극한을 계산하는 방법에 대해 알아보았다. 수열의 극한 또한 계산법이 다를 바 없다. 그러나 수열이 항에 따라 다른 수열을 따르는 수열일 경우 각 항의 극한을 계산한 후 각 항의 극한값이 모두 동일하면 극한이 그 값으로 수렴하는 것이고, 극한값이 적어도 둘이 서로 다를 경우 극한은 발산한다.
a2n−1=2−n, a2n=4−n+6일때,
limn→∞a2n−1=limn→∞a2n=0
a2n−1=2−n, a2n=4n+6일때,
limn→∞a2n−1=0, limn→∞a2n=∞이므로 발산한다.
a2n−1=2−n+3, a2n=2n+3n−7+2−4n+13일때,
limn→∞a2n−1=3, limn→∞a2n=1이므로 발산한다.
현재 고등학교에서 배우는 수열의 종류에는 등차수열과 등비수열이 있다. n이 무한히 커질 때 공차가 0이 아닌 등차수열은 발산함이 자명하다. 그러나 등비수열은 경우에 따라 달라진다. 다음은 공비가 r인 등비수열이다.
an=a1rn−1
i) r>1일때

an=2n−11000
a1=11000, a2=1500, a3=1250, a4=1125, a5=2125
a6=4125, a7=8125, a8=16125, a9=32125, a10=64125
a11=128125, a12=256125, a13=512125, a14=1024125, a15=2048125
a16=4096125, a17=8192125, a18=16384125, a19=32768125, a20=65536125
따라서 이 경우 수열은 무한대로 발산한다.
ii) r=1일때

an=7
a1=7, a2=7, a3=7, a4=7, a5=7
a6=7, a7=7, a8=7, a9=7, a10=7
a11=7, a12=7, a13=7, a14=7, a15=7
a16=7, a17=7, a18=7, a19=7, a20=7
따라서 이 경우 수열은 수렴하며, 초항을 극한값으로 가진다.
iii) 0<r<1일때

an=1000×(12)n−1
a1=1000, a2=500, a3=250, a4=125, a5=1252
a6=1254, a7=1258, a8=12516, a9=12532, a10=12564
a11=125128, a12=125256, a13=125512, a14=1251024, a15=1252048
a16=1254096, a17=1258192, a18=12516384, a19=12532768, a20=12565536
따라서 이 경우 수열은 수렴하며, 0을 극한값으로 가진다.
iv) r=0일때

an={5(n=1)0(n≥2)
a1=5, a2=0, a3=0, a4=0, a5=0
a6=0, a7=0, a8=0, a9=0, a10=0
a11=0, a12=0, a13=0, a14=0, a15=0
a16=0, a17=0, a18=0, a19=0, a20=0
따라서 이 경우 수열은 수렴하며, 0을 극한값으로 가진다.
v) −1<r<0일때

an=1000×(−12)n−1
a1=1000, a2=−500, a3=250, a4=−125, a5=1252
a6=−1254, a7=1258, a8=−12516, a9=12532, a10=−12564
a11=125128, a12=−125256, a13=125512, a14=−1251024, a15=1252048
a16=−1254096, a17=1258192, a18=−12516384, a19=12532768, a20=−12565536
따라서 이 경우 수열은 수렴하며, 0을 극한값으로 가진다.
vi) r=−1일때

an=3×(−1)n−1
a1=3, a2=−3, a3=3, a4=−3, a5=3
a6=−3, a7=3, a8=−3, a9=3, a10=−3
a11=3, a12=−3, a13=3, a14=−3, a15=3
a16=−3, a17=3, a18=−3, a19=3, a20=−3
따라서 이 경우 수열은 진동발산 한다.
vii) r<−1일때

an=(−2)n−11000
a1=11000, a2=−1500, a3=1250, a4=−1125, a5=2125
a6=−4125, a7=8125, a8=−16125, a9=32125, a10=−64125
a11=128125, a12=−256125, a13=512125, a14=−1024125, a15=2048125
a16=−4096125, a17=8192125, a18=−16384125, a19=32768125, a20=−65536125
따라서 이 경우 수열은 발산한다.
∴ i), ii), iii), iv), v), vi), vii)에 의하여 등비수열은 공비가 1이거나 공비의 절댓값이 1보다 작을 경우에 수렴한다.