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수학/고등학생을 위한 수학

미분과 적분(7)

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※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.


 앞서 극한을 계산하는 방법에 대해 알아보았다. 수열의 극한 또한 계산법이 다를 바 없다. 그러나 수열이 항에 따라 다른 수열을 따르는 수열일 경우 각 항의 극한을 계산한 후 각 항의 극한값이 모두 동일하면 극한이 그 값으로 수렴하는 것이고, 극한값이 적어도 둘이 서로 다를 경우 극한은 발산한다.

a2n1=2na2n=4n+6일때,

limna2n1=limna2n=0

a2n1=2na2n=4n+6일때,

limna2n1=0limna2n=이므로 발산한다.

a2n1=2n+3a2n=2n+3n7+24n+13일때,

limna2n1=3limna2n=1이므로 발산한다.

 현재 고등학교에서 배우는 수열의 종류에는 등차수열과 등비수열이 있다. n이 무한히 커질 때 공차가 0이 아닌 등차수열은 발산함이 자명하다. 그러나 등비수열은 경우에 따라 달라진다. 다음은 공비가 r인 등비수열이다.

an=a1rn1

i) r>1일때

an=2n11000

a1=11000a2=1500a3=1250a4=1125a5=2125

a6=4125a7=8125a8=16125a9=32125a10=64125

a11=128125a12=256125a13=512125a14=1024125a15=2048125

a16=4096125a17=8192125a18=16384125a19=32768125a20=65536125

 따라서 이 경우 수열은 무한대로 발산한다.

ii) r=1일때

an=7

a1=7a2=7a3=7a4=7a5=7

a6=7a7=7a8=7a9=7a10=7

a11=7a12=7a13=7a14=7a15=7

a16=7a17=7a18=7a19=7a20=7

 따라서 이 경우 수열은 수렴하며, 초항을 극한값으로 가진다.

iii) 0<r<1일때

an=1000×(12)n1

a1=1000a2=500a3=250a4=125a5=1252

a6=1254a7=1258a8=12516a9=12532a10=12564

a11=125128a12=125256a13=125512a14=1251024a15=1252048

a16=1254096a17=1258192a18=12516384a19=12532768a20=12565536

따라서 이 경우 수열은 수렴하며, 0을 극한값으로 가진다.

iv) r=0일때

an={5(n=1)0(n2)

a1=5a2=0a3=0a4=0a5=0

a6=0a7=0a8=0a9=0a10=0

a11=0a12=0a13=0a14=0a15=0

a16=0a17=0a18=0a19=0a20=0

 따라서 이 경우 수열은 수렴하며, 0을 극한값으로 가진다.

v) 1<r<0일때

an=1000×(12)n1

a1=1000a2=500a3=250a4=125a5=1252

a6=1254a7=1258a8=12516a9=12532a10=12564

a11=125128a12=125256a13=125512a14=1251024a15=1252048

a16=1254096a17=1258192a18=12516384a19=12532768a20=12565536

 따라서 이 경우 수열은 수렴하며, 0을 극한값으로 가진다.

vi) r=1일때

an=3×(1)n1

a1=3a2=3a3=3a4=3a5=3

a6=3a7=3a8=3a9=3a10=3

a11=3a12=3a13=3a14=3a15=3

a16=3a17=3a18=3a19=3a20=3

 따라서 이 경우 수열은 진동발산 한다.

vii) r<1일때

an=(2)n11000

a1=11000a2=1500a3=1250a4=1125a5=2125

a6=4125a7=8125a8=16125a9=32125a10=64125

a11=128125a12=256125a13=512125a14=1024125a15=2048125

a16=4096125a17=8192125a18=16384125a19=32768125a20=65536125

 따라서 이 경우 수열은 발산한다.

 

∴ i), ii), iii), iv), v), vi), vii)에 의하여 등비수열은 공비가 1이거나 공비의 절댓값이 1보다 작을 경우에 수렴한다.


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