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앞서 극한을 계산하는 방법에 대해 알아보았다. 수열의 극한 또한 계산법이 다를 바 없다. 그러나 수열이 항에 따라 다른 수열을 따르는 수열일 경우 각 항의 극한을 계산한 후 각 항의 극한값이 모두 동일하면 극한이 그 값으로 수렴하는 것이고, 극한값이 적어도 둘이 서로 다를 경우 극한은 발산한다.
$$ a_{2n-1} = 2^{-n} \text{, } a_{2n} = 4^{-n+6} \text{일때,} $$
$$ \lim_{n \to \infty}{a_{2n-1}} = \lim_{n \to \infty}{a_{2n}} = 0 $$
$$ a_{2n-1} = 2^{-n} \text{, } a_{2n} = 4n+6 \text{일때,} $$
$$ \lim_{n \to \infty}{a_{2n-1}} = 0 \text{, } \lim_{n \to \infty}{a_{2n}} = \infty \text{이므로 발산한다.} $$
$$ a_{2n-1} = 2^{-n}+3 \text{, } a_{2n} = {{2n+3} \over {n-7}}+2^{-4n+13} \text{일때,} $$
$$ \lim_{n \to \infty}{a_{2n-1}} = 3 \text{, } \lim_{n \to \infty}{a_{2n}} = 1 \text{이므로 발산한다.} $$
현재 고등학교에서 배우는 수열의 종류에는 등차수열과 등비수열이 있다. n이 무한히 커질 때 공차가 0이 아닌 등차수열은 발산함이 자명하다. 그러나 등비수열은 경우에 따라 달라진다. 다음은 공비가 r인 등비수열이다.
$$ a_{n} = a_{1}r^{n-1} $$
$$ \text{i) } r>1 \text{일때} $$
$$ a_{n} = { {2^{n-1}} \over {1000} } $$
$$ a_{1}= { {1} \over {1000} } \text{, } a_{2}= { {1} \over {500} } \text{, } a_{3}= { {1} \over {250} } \text{, } a_{4}= { {1} \over {125} } \text{, } a_{5}= { {2} \over {125} } $$
$$ a_{6}= { {4} \over {125} } \text{, } a_{7}= { {8} \over {125} } \text{, } a_{8}= { {16} \over {125} } \text{, } a_{9}= { {32} \over {125} } \text{, } a_{10}= { {64} \over {125} } $$
$$ a_{11}= { {128} \over {125} } \text{, } a_{12}= { {256} \over {125} } \text{, } a_{13}= { {512} \over {125} } \text{, } a_{14}= { {1024} \over {125} } \text{, } a_{15}= { {2048} \over {125} } $$
$$ a_{16}= { {4096} \over {125} } \text{, } a_{17}= { {8192} \over {125} } \text{, } a_{18}= { {16384} \over {125} } \text{, } a_{19}= { {32768} \over {125} } \text{, } a_{20}= { {65536} \over {125} } $$
따라서 이 경우 수열은 무한대로 발산한다.
$$ \text{ii) } r=1 \text{일때} $$
$$ a_{n} = 7 $$
$$ a_{1}= 7 \text{, } a_{2}= 7 \text{, } a_{3}= 7 \text{, } a_{4}= 7 \text{, } a_{5} = 7 $$
$$ a_{6}= 7 \text{, } a_{7}= 7 \text{, } a_{8}= 7 \text{, } a_{9}= 7 \text{, } a_{10} = 7 $$
$$ a_{11}= 7 \text{, } a_{12}= 7 \text{, } a_{13}= 7 \text{, } a_{14}= 7 \text{, } a_{15}= 7 $$
$$ a_{16}= 7 \text{, } a_{17}= 7 \text{, } a_{18}= 7 \text{, } a_{19}= 7 \text{, } a_{20}= 7 $$
따라서 이 경우 수열은 수렴하며, 초항을 극한값으로 가진다.
$$ \text{iii) } 0<r<1 \text{일때} $$
$$ a_{n} = 1000 \times \left( { {1} \over {2} } \right)^{n-1} $$
$$ a_{1}= 1000 \text{, } a_{2}= 500 \text{, } a_{3}= 250 \text{, } a_{4}= 125 \text{, } a_{5}= { {125} \over {2} } $$
$$ a_{6}= { {125} \over {4} } \text{, } a_{7}= { {125} \over {8} } \text{, } a_{8}= { {125} \over {16} } \text{, } a_{9}= { {125} \over {32} } \text{, } a_{10}= { {125} \over {64} } $$
$$ a_{11}= { {125} \over {128} } \text{, } a_{12}= { {125} \over {256} } \text{, } a_{13}= { {125} \over {512} } \text{, } a_{14}= { {125} \over {1024} } \text{, } a_{15}= { {125} \over {2048} } $$
$$ a_{16}= { {125} \over {4096} } \text{, } a_{17}= { {125} \over {8192} } \text{, } a_{18}= { {125} \over {16384} } \text{, } a_{19}= { {125} \over {32768} } \text{, } a_{20}= { {125} \over {65536} } $$
따라서 이 경우 수열은 수렴하며, 0을 극한값으로 가진다.
$$ \text{iv) } r=0 \text{일때} $$
$$ a_{n} = \begin{cases} 5 & (n=1) \\ 0 & (n \ge 2) \end{cases}$$
$$ a_{1}= 5 \text{, } a_{2}= 0 \text{, } a_{3}= 0 \text{, } a_{4}= 0 \text{, } a_{5} = 0 $$
$$ a_{6}= 0 \text{, } a_{7}= 0 \text{, } a_{8}= 0 \text{, } a_{9}= 0 \text{, } a_{10} = 0 $$
$$ a_{11}= 0 \text{, } a_{12}= 0 \text{, } a_{13}= 0 \text{, } a_{14}= 0 \text{, } a_{15}= 0 $$
$$ a_{16}= 0 \text{, } a_{17}= 0 \text{, } a_{18}= 0 \text{, } a_{19}= 0 \text{, } a_{20}= 0 $$
따라서 이 경우 수열은 수렴하며, 0을 극한값으로 가진다.
$$ \text{v) } -1<r<0 \text{일때} $$
$$ a_{n} = 1000 \times \left( -{ {1} \over {2} } \right)^{n-1} $$
$$ a_{1}= 1000 \text{, } a_{2}= -500 \text{, } a_{3}= 250 \text{, } a_{4}= -125 \text{, } a_{5}= { {125} \over {2} } $$
$$ a_{6}= -{ {125} \over {4} } \text{, } a_{7}= { {125} \over {8} } \text{, } a_{8}= -{ {125} \over {16} } \text{, } a_{9}= { {125} \over {32} } \text{, } a_{10}= -{ {125} \over {64} } $$
$$ a_{11}= { {125} \over {128} } \text{, } a_{12}= -{ {125} \over {256} } \text{, } a_{13}= { {125} \over {512} } \text{, } a_{14}= -{ {125} \over {1024} } \text{, } a_{15}= { {125} \over {2048} } $$
$$ a_{16}= -{ {125} \over {4096} } \text{, } a_{17}= { {125} \over {8192} } \text{, } a_{18}= -{ {125} \over {16384} } \text{, } a_{19}= { {125} \over {32768} } \text{, } a_{20}= -{ {125} \over {65536} } $$
따라서 이 경우 수열은 수렴하며, 0을 극한값으로 가진다.
$$ \text{vi) } r=-1 \text{일때} $$
$$ a_{n} = 3 \times (-1)^{n-1} $$
$$ a_{1}= 3 \text{, } a_{2}= -3 \text{, } a_{3}= 3 \text{, } a_{4}= -3 \text{, } a_{5} = 3 $$
$$ a_{6}= -3 \text{, } a_{7}= 3 \text{, } a_{8}= -3 \text{, } a_{9}= 3 \text{, } a_{10} = -3 $$
$$ a_{11}= 3 \text{, } a_{12}= -3 \text{, } a_{13}= 3 \text{, } a_{14}= -3 \text{, } a_{15}= 3 $$
$$ a_{16}= -3 \text{, } a_{17}= 3 \text{, } a_{18}= -3 \text{, } a_{19}= 3 \text{, } a_{20}= -3 $$
따라서 이 경우 수열은 진동발산 한다.
$$ \text{vii) } r<-1 \text{일때} $$
$$ a_{n} = { {(-2)^{n-1}} \over {1000} } $$
$$ a_{1}= { {1} \over {1000} } \text{, } a_{2}= -{ {1} \over {500} } \text{, } a_{3}= { {1} \over {250} } \text{, } a_{4}= -{ {1} \over {125} } \text{, } a_{5}= { {2} \over {125} } $$
$$ a_{6}= -{ {4} \over {125} } \text{, } a_{7}= { {8} \over {125} } \text{, } a_{8}= -{ {16} \over {125} } \text{, } a_{9}= { {32} \over {125} } \text{, } a_{10}= -{ {64} \over {125} } $$
$$ a_{11}= { {128} \over {125} } \text{, } a_{12}= -{ {256} \over {125} } \text{, } a_{13}= { {512} \over {125} } \text{, } a_{14}= -{ {1024} \over {125} } \text{, } a_{15}= { {2048} \over {125} } $$
$$ a_{16}= -{ {4096} \over {125} } \text{, } a_{17}= { {8192} \over {125} } \text{, } a_{18}= -{ {16384} \over {125} } \text{, } a_{19}= { {32768} \over {125} } \text{, } a_{20}= -{ {65536} \over {125} } $$
따라서 이 경우 수열은 발산한다.
∴ i), ii), iii), iv), v), vi), vii)에 의하여 등비수열은 공비가 1이거나 공비의 절댓값이 1보다 작을 경우에 수렴한다.
