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x가 어떤 값에 한없이 가까워질 때의 극한의 계산
대입했을 때 ba, a≠0 인 경우
이 경우에는 대입한 값이 곧 극한값이 된다.
limx→3(x2+7)=16
limx→4x−4(x+1)=0
그러나 몇 가지 경우는 이 방법으로 극한값을 구할 수 없다.
대입했을 때 a0, a≠0 인 경우
어떠한 값을 0으로 나누면 값이 무한히 커지므로 0으로 나눌 수 없다. 그러므로 상수/0의 꼴이 되는 극한은 양의 무한대이든 음의 무한대이든 발산하게 된다.
limx→3(x(x−3)2)=∞
대입했을 때 00 인 경우
고등학교 수학 문제를 풀 때 가장 많이 보게 될 형태일 것이다. 이 경우를 푸는 방법은 여러가지가 있다. 상황에 따라 편한 방법을 사용하면 된다.
분모 분자의 공통인수를 약분하기
limx→3x3+6x2−27xx−3=limx→3x(x−3)(x+6)x−3=limx→3x(x+6)=27
미분계수의 정의 사용하기
f(4)=2, f′(4)=5일때
limx→4f(x)−2x−4=limx→4f(x)−f(4)x−4=f′(4)=2
로피탈의 정리 사용하기
limx→−1x5+1x2+4x+3=limx→−15x42x+4=52
x가 무한히 커질 때의 극한의 계산
a∞ 꼴인 경우
분수에서 분자가 일정할 때 분모가 커지면 분수의 절댓값은 작아진다. 따라서 이 경우에 극한값은 0으로 수렴한다.
limx→∞1x=0
limx→∞sinxx=0
limx→∞e−xx=0
∞∞ 꼴인 경우
이 경우는 0×무한대와 동일하게 생각할 수도 있다. 여기서 중요한 것은 0×무한대의 계산값은 0이라고 생각하는 사람이 많지만, 이는 계산값이 항상 0인 것은 아니다. 이러한 꼴의 극한의 계산은 주로 분모와 분자를 같은 식으로 나누어 분모 또는 분자의 값을 상수로 만들어 극한값을 구한다.
limx→∞3x6−2x2−34x+49x4+9x2+1=limx→∞3x6−2x2−34x+49x4x4+9x2+1x4=limx→∞3x2−2x−2−34x−3+49x−41+9x−2+x−4=limx→∞3x2−0−0+01+0+0=∞
limx→∞3x4−2x2−34x+49x4+9x2+1=limx→∞3x4−2x2−34x+49x4x4+9x2+1x4=limx→∞3−2x−2−34x−3+49x−41+9x−2+x−4=limx→∞3−0−0+01+0+0=3
limx→∞8x3−12x2−3x+97x4+5x2+13=limx→∞8x3−12x2−3x+9x37x4+5x2+13x3=limx→∞8−12x−1−3x−2+9x−37x+5x−1+13x−3=limx→∞8−0−0+07x+0+0=0
위 세 가지 경우는 분모와 분자의 차수를 비교한 뒤 극한값을 결정한다. 이때 차수가 동일한 경우 최고차항의 계수의 비가 극한값이 된다.
limx→∞ex4x2=∞
limx→∞3x+5ex=0
위 두 경우에는 분모와 분자의 식의 변화 정도를 생각하여 극한값을 결정한다.
∞−∞ 꼴인 경우
이 경우 무한대-무한대이므로 극한값이 0이라고 생각하는 사람이 많으나 항상 0인 것은 아니다. 발산하기도 하고 0이 아닌 값에 수렴하기도 한다. 다음의 경우는 발산하는 경우이다.
limx→∞(x3−6x2+7)=limx→∞x3(1−6x+7x3)=limx→∞x3(1−0+0)=limx→∞x3=∞
이외에도 자연상수 e 등 다양한 경우가 있지만 이에 대해서는 추후 다루도록 하겠다.
수학적인 사고방식을 응용하지 못하는 학문이나 수학과 관련이 없는 사항 중에 확실한 것은 하나도 없다.
-레오나르도 다빈치
