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x가 어떤 값에 한없이 가까워질 때의 극한의 계산
$$ \text{대입했을 때 } { {b} \over {a} } \text{, } a \ne 0 \text{ 인 경우} $$
이 경우에는 대입한 값이 곧 극한값이 된다.
$$ \lim_{x \to 3}{\left( x^{2} + 7 \right)} = 16 $$
$$ \lim_{x \to 4}{ { {x-4} \over {\left( x +1 \right)} } } = 0 $$
그러나 몇 가지 경우는 이 방법으로 극한값을 구할 수 없다.
$$ \text{대입했을 때 } { {a} \over {0} } \text{, } a \ne 0 \text{ 인 경우} $$
어떠한 값을 0으로 나누면 값이 무한히 커지므로 0으로 나눌 수 없다. 그러므로 상수/0의 꼴이 되는 극한은 양의 무한대이든 음의 무한대이든 발산하게 된다.
$$ \lim_{x \to 3}{\left( { {x} \over {\left(x-3\right)^{2}} } \right)} = \infty $$
$$ \text{대입했을 때 } { {0} \over {0} } \text{ 인 경우} $$
고등학교 수학 문제를 풀 때 가장 많이 보게 될 형태일 것이다. 이 경우를 푸는 방법은 여러가지가 있다. 상황에 따라 편한 방법을 사용하면 된다.
분모 분자의 공통인수를 약분하기
$$ \begin{matrix} \lim_{x \to 3}{ { {x^{3} +6x^{2} -27x} \over {x-3} } } &=& \lim_{x \to 3}{ {{ x(x-3)(x+6) } \over {x-3}} } \\ &=& \lim_{x \to 3}{x(x+6)} = 27 \end{matrix} $$
미분계수의 정의 사용하기
$$ f(4) = 2 \text{, } f^{\prime}(4) = 5 \text{일때} $$
$$ \lim_{x \to 4}{ { {f(x)-2} \over {x-4} } } = \lim_{x \to 4}{ { {f(x)-f(4)} \over {x-4} } } = f^{\prime}(4) = 2 $$
로피탈의 정리 사용하기
$$ \lim_{x \to -1}{ { {x^{5}+1} \over {x^{2} +4x +3} } } = \lim_{x \to -1}{ { {5x^{4}} \over {2x+4} } } = { {5} \over {2} } $$
x가 무한히 커질 때의 극한의 계산
$$ { {a} \over {\infty} } \text{ 꼴인 경우} $$
분수에서 분자가 일정할 때 분모가 커지면 분수의 절댓값은 작아진다. 따라서 이 경우에 극한값은 0으로 수렴한다.
$$ \lim_{x \to \infty}{ { {1} \over {x} } } = 0 $$
$$ \lim_{x \to \infty}{ { {\sin{x}} \over {x} } } = 0 $$
$$ \lim_{x \to \infty}{ { {e^{-x}} \over {x} } } = 0 $$
$$ { {\infty} \over {\infty} } \text{ 꼴인 경우} $$
이 경우는 0×무한대와 동일하게 생각할 수도 있다. 여기서 중요한 것은 0×무한대의 계산값은 0이라고 생각하는 사람이 많지만, 이는 계산값이 항상 0인 것은 아니다. 이러한 꼴의 극한의 계산은 주로 분모와 분자를 같은 식으로 나누어 분모 또는 분자의 값을 상수로 만들어 극한값을 구한다.
$$ \begin{matrix} \lim_{x \to \infty}{ { {3x^{6}-2x^{2}-34x+49} \over {x^{4}+9x^{2}+1} } } &=& \lim_{x \to \infty}{ {{ {3x^{6}-2x^{2}-34x+49} \over {x^{4}} }} \over {{ {x^{4}+9x^{2}+1} \over {x^{4}} }} } \\ &=& \lim_{x \to \infty}{ { { 3x^{2} -2x^{-2} -34x^{-3} +49x^{-4}} \over {1+9x^{-2}+x^{-4}} } } \\ &=& \lim_{x \to \infty}{ { {3x^{2} -0-0+0} \over {1+0+0} } } = \infty \end{matrix} $$
$$ \begin{matrix} \lim_{x \to \infty}{ { {3x^{4}-2x^{2}-34x+49} \over {x^{4}+9x^{2}+1} } } &=& \lim_{x \to \infty}{ {{ {3x^{4}-2x^{2}-34x+49} \over {x^{4}} }} \over {{ {x^{4}+9x^{2}+1} \over {x^{4}} }} } \\ &=& \lim_{x \to \infty}{ { { 3 -2x^{-2} -34x^{-3} +49x^{-4}} \over {1+9x^{-2}+x^{-4}} } } \\ &=& \lim_{x \to \infty}{ { {3-0-0+0} \over {1+0+0} } } = 3 \end{matrix} $$
$$ \begin{matrix} \lim_{x \to \infty}{ { {8x^{3}-12x^{2}-3x+9} \over {7x^{4}+5x^{2}+13} } } &=& \lim_{x \to \infty}{ {{ {8x^{3}-12x^{2}-3x+9} \over {x^{3}} }} \over {{ {7x^{4}+5x^{2}+13} \over {x^{3}} }} } \\ &=& \lim_{x \to \infty}{ { { 8 -12x^{-1} -3x^{-2} +9x^{-3}} \over {7x+5x^{-1}+13x^{-3}} } } \\ &=& \lim_{x \to \infty}{ { {8-0-0+0} \over {7x+0+0} } } = 0 \end{matrix} $$
위 세 가지 경우는 분모와 분자의 차수를 비교한 뒤 극한값을 결정한다. 이때 차수가 동일한 경우 최고차항의 계수의 비가 극한값이 된다.
$$ \lim_{x \to \infty}{{ {e^{x}} \over {4x^{2}} }} = \infty $$
$$ \lim_{x \to \infty}{{ {3x+5} \over {e^{x}} }} = 0 $$
위 두 경우에는 분모와 분자의 식의 변화 정도를 생각하여 극한값을 결정한다.
$$ \infty - \infty \text{ 꼴인 경우} $$
이 경우 무한대-무한대이므로 극한값이 0이라고 생각하는 사람이 많으나 항상 0인 것은 아니다. 발산하기도 하고 0이 아닌 값에 수렴하기도 한다. 다음의 경우는 발산하는 경우이다.
$$ \begin{matrix} \lim_{x \to \infty}{ (x^{3}-6x^{2}+7) } &=& \lim_{x \to \infty}{x^{3} \left( 1-{ {6} \over {x} +{ {7} \over {x^{3}} } } \right) } \\ &=& \lim_{x \to \infty}{x^{3}(1-0+0)} \\ &=& \lim_{x \to \infty}{x^{3}} = \infty \end{matrix} $$
이외에도 자연상수 e 등 다양한 경우가 있지만 이에 대해서는 추후 다루도록 하겠다.
수학적인 사고방식을 응용하지 못하는 학문이나 수학과 관련이 없는 사항 중에 확실한 것은 하나도 없다.
-레오나르도 다빈치
