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이전 글에서 극한을 정의하고 극한의 성질에 대하여 알아보았다. 극한의 성질이 성립하기 위한 선행 조건이 있었다. 바로 극한값이 존재하는 것이다. 그렇다면 이러한 의문이 생길 수 있다. 극한값은 항상 존재하는 것일까? 그렇지 않다면 극한값이 존재하기 위한 조건은 무엇일까?
아래의 그래프를 보면서 살펴보자
우극한과 좌극한
위 그래프의 함수식은 다음과 같다
$$ f(x) = \begin{cases} 1 & \left( x > 0 \right) \\ 0 & \left( x \le 0 \right) \end{cases} $$
위 그림에서 보이듯이 주어진 함수는 x가 a에 한없이 가까워질 때 0이 아닌 모든 값에서 극한값을 가짐은 자명하다. 그렇다면 x가 0에 한없이 가까워질 때 이 함수는 극한값을 가질까? 결론은 아니다.
극한은 두 가지로 나눌 수 있는데 우극한과 좌극한으로 나눈다. 우극한은 x의 값이 우측에서 좌측으로 어떤 값에 한없이 가까워질 때의 극한값이고, 좌극한은 x의 값이 좌측에서 우측으로 어떤 값에 한없이 가까워질 때의 극한값이다. 표기는 다음과 같다.
x가 a에 한없이 가까워질 때의 함수 f(x)의 우극한
$$ \lim_{x \to a+}{f(x)} = f(a_{+}) $$
x가 a에 한없이 가까워질 때의 함수 f(x)의 좌극한
$$ \lim_{x \to a-}{f(x)} = f(a_{-}) $$
여기서 우극한과 좌극한의 값이 같은 경우에 '극한값이 존재한다' 또는 '극한이 수렴한다'고 한다. 이와 반대로 '극한값이 존재하지 않는 경우'를 '극한이 발산한다'고 한다. 다시 A의 함수로 돌아가 x가 0에 한없이 가까워질 때의 우극한과 좌극한의 값을 조사해보자.
위에서 볼 수 있듯이 함수 f(x)의 극한은 다음과 같다.
$$ \lim_{x \to 0+}{f(x)} = 1 $$
$$\lim_{x \to 0-}{f(x)} = 0 $$
따라서 x가 0에 한없이 가까워질 때 우극한과 좌극한의 값이 다르므로 이때의 극한값은 존재하지 않는다.
여기서 한가지 사실을 알 수 있다. 극한값이 함수값과 동일한 경우는 특별한 경우라는 것을.
함수의 연속성
위 그래프의 함수식은 다음과 같다.
$$ f(x) = \begin{cases} x^{2} & \left( x > 0 \right) \\ -x^{2} & \left( x \le 0 \right) \end{cases} $$
이때 x가 0에 한없이 가까워질 때의 함수의 극한을 조사하면 다음과 같이 나타난다.
$$ f(0) = 0 $$
$$ \lim_{x \to 0+}{f(x)} = \lim_{x \to 0+}{x^{2}} = 0, $$
$$ \lim_{x \to 0-}{f(x)} = \lim_{x \to 0-}{-x^{2}} = 0 \text{이므로} $$
$$ \lim_{x \to 0+}{f(x)} = \lim_{x \to 0-}{f(x)} = 0 $$
$$ \therefore \lim_{x \to 0-}{f(x)} = f(0) = 0 $$
이와 같이 x가 a에 한없이 가까워질 때의 극한값과 x=a에서의 함수값이 같은 경우를 x=a에서 함수가 연속이라고 한다.
계산이라는 과정은 그저 직관을 일깨운다. 계산은 실험이 아니다.
-루드비히 비트겐슈타인
