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고등학교에서는 '수학II'와 '미적분' 두 과목에서 극한에 대한 개념을 배운다. 어떤 변수가 특정한 값에 '가까워'지거나 '한없이 커지는' 등 '변화'가 일어날 때, 주어진 '함수' 또는 '수열'이 어떠한 '값'에 '가까워'지거나 '한없이 커지는' 등 그 '값의 변화'를 나타내는 것을 '극한'이라고 배운다. 그러나 극한은 '무한'을 다루기에 극한을 사람의 언어로 표현하다보니 상당한 오개념이 잡히는 경우도 있다. 이 때문에 해석학에서는 극한을 '엡실론-델타 논법'으로 정의한다. 하지만 이러한 방식의 정의는 고등학생들이 익숙하지 않고 직관적이지 않아 이해하기 힘들어 고등학교에서는 배우지 않는다. 여기에서도 독자들의 이해를 돕기 위해 '엡실론-델타 논법'이 아닌 '직관적인 방법'으로 극한을 정의할 것이다. 1
극한은 다음과 같이 정의한다.
x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 L에 한없이 가까워지면 이때의 L의 값을 f(x)의 극한값이라 하고
이를 limx→af(x)=L라고 한다.
엡실론-델타 논법으로 정의하면 다음과 같다.
열린 구간 D에 대하여
limx→af(x)=Ldef⟺∀ϵ>0, ∃δ>0, ∀x∈D:0<|x−a|<δ⟹|f(x)−L|<ϵ
극한은 다음의 성질을 가진다.
두 함수 f(x), g(x)에 대하여 limx→af(x)=α, limx→ag(x)=β(α, β∈ℜ)일때
limx→af(x)=α′⟺α′
limx→ak=k
limx→a(k×f(x))=k×limx→af(x)=kα
limx→a(f(x)±g(x))=limx→af(x)±limx→ag(x)=α±β
limx→a(f(x)×g(x))=limx→af(x)×limx→ag(x)=α×β
limx→af(x)g(x)=limx→af(x)limx→ag(x)=αβ(단, β≠0)
세 함수 f(x), g(x), h(x)에 대하여 f(x)<h(x)<g(x)를 만족하면limx→af(x)≤limx→ah(x)≤limx→ag(x)
무한 이외에 다른 어떤 물음도 그토록 인간 정신에 큰 물음을 준 것은 없었다.
-힐베르트
- 엡실론-델타 논법에 대해서는 나중에 따로 자세히 다룰 것이다. [본문으로]