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수학/고등학생을 위한 수학

미분과 적분(2)

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※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.


 고등학교에서는 '수학II''미적분' 두 과목에서 극한에 대한 개념을 배운다. 어떤 변수가 특정한 값에 '가까워'지거나 '한없이 커지는''변화'가 일어날 때, 주어진 '함수' 또는 '수열'이 어떠한 '값''가까워'지거나 '한없이 커지는' 등 그 '값의 변화'를 나타내는 것을 '극한'이라고 배운다. 그러나 극한은 '무한'을 다루기에 극한을 사람의 언어로 표현하다보니 상당한 오개념이 잡히는 경우도 있다. 이 때문에 해석학에서는 극한을 '엡실론-델타 논법'으로 정의한다. 하지만 이러한 방식의 정의는 고등학생들이 익숙하지 않고 직관적이지 않아 이해하기 힘들어 고등학교에서는 배우지 않는다. 여기에서도 독자들의 이해를 돕기 위해 '엡실론-델타 논법'이 아닌 '직관적인 방법'으로 극한을 정의할 것이다.[각주:1]

 

 극한은 다음과 같이 정의한다.

x가 a에 한없이 가까워질 때 f(x)가 L에 한없이 가까워지면 이때의 L의 값을 f(x)의 극한값이라 하고

이를 limxaf(x)=L라고 한다.

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 엡실론-델타 논법으로 정의하면 다음과 같다.

열린 구간 D에 대하여

limxaf(x)=Ldefϵ>0δ>0xD:0<|xa|<δ|f(x)L|<ϵ

 극한은 다음의 성질을 가진다.

두 함수 f(x)g(x)에 대하여 limxaf(x)=αlimxag(x)=β(αβ)일때

limxaf(x)=αα

limxak=k

limxa(k×f(x))=k×limxaf(x)=kα

limxa(f(x)±g(x))=limxaf(x)±limxag(x)=α±β

limxa(f(x)×g(x))=limxaf(x)×limxag(x)=α×β

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)limxag(x)=αβ(단, β0)

세 함수 f(x)g(x)h(x)에 대하여 f(x)<h(x)<g(x)를 만족하면limxaf(x)limxah(x)limxag(x)

 

 

 

무한 이외에 다른 어떤 물음도 그토록 인간 정신에 큰 물음을 준 것은 없었다.

-힐베르트


  1. 엡실론-델타 논법에 대해서는 나중에 따로 자세히 다룰 것이다. [본문으로]
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