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고등학교에서는 '수학II'와 '미적분' 두 과목에서 극한에 대한 개념을 배운다. 어떤 변수가 특정한 값에 '가까워'지거나 '한없이 커지는' 등 '변화'가 일어날 때, 주어진 '함수' 또는 '수열'이 어떠한 '값'에 '가까워'지거나 '한없이 커지는' 등 그 '값의 변화'를 나타내는 것을 '극한'이라고 배운다. 그러나 극한은 '무한'을 다루기에 극한을 사람의 언어로 표현하다보니 상당한 오개념이 잡히는 경우도 있다. 이 때문에 해석학에서는 극한을 '엡실론-델타 논법'으로 정의한다. 하지만 이러한 방식의 정의는 고등학생들이 익숙하지 않고 직관적이지 않아 이해하기 힘들어 고등학교에서는 배우지 않는다. 여기에서도 독자들의 이해를 돕기 위해 '엡실론-델타 논법'이 아닌 '직관적인 방법'으로 극한을 정의할 것이다.1
극한은 다음과 같이 정의한다.
$$ x \text{가 } a \text{에 한없이 가까워질 때 } f(x) \text{가 } L \text{에 한없이 가까워지면 이때의 } L \text{의 값을 } f(x) \text{의 극한값이라 하고} $$
$$ \text{이를 } \lim_{x \to a}{f(x)} = L \text{라고 한다.} $$
엡실론-델타 논법으로 정의하면 다음과 같다.
열린 구간 D에 대하여
$$ \lim_{x \to a}{f(x)} = L \overset{ \underset{ \mathrm{def}}{}}{ \Longleftrightarrow } \forall \epsilon > 0 \text{, } \exists \delta > 0 \text{, } \forall x \in D : 0 < \left| x - a \right| < \delta \Longrightarrow \left| f(x)-L \right| < \epsilon $$
극한은 다음의 성질을 가진다.
$$ \text{두 함수 } f(x) \text{, } g(x) \text{에 대하여 } \lim_{x \to a}{f(x)} = \alpha \text{, } \lim_{x \to a}{g(x)} = \beta \left( \alpha \text{, } \beta \in \Re \right) \text{일때} $$
$$ \lim_{x \to a}{f(x)} = \alpha ^{\prime} \Longleftrightarrow \alpha ^{\prime} $$
$$ \lim_{x \to a}{k} = k $$
$$ \lim_{x \to a}{ \left( k \times f(x) \right)} = k \times \lim_{x \to a}{f(x)} = k \alpha $$
$$ \lim_{x \to a}{ \left( f(x) \pm g(x) \right)} = \lim_{x \to a}{f(x)} \pm \lim_{x \to a}{g(x)} = \alpha \pm \beta $$
$$ \lim_{x \to a}{ \left( f(x) \times g(x) \right)} = \lim_{x \to a}{f(x)} \times \lim_{x \to a}{g(x)} = \alpha \times \beta $$
$$ \lim_{x \to a}{ { {f(x)} \over {g(x)} } } = { { \lim_{x \to a}{f(x)} } \over { \lim_{x \to a}{g(x)} } } = { { \alpha } \over { \beta } } \left( \text{단, } \beta \ne 0 \right) $$
$$ \text{세 함수 } f(x) \text{, } g(x) \text{, } h(x) \text{에 대하여 } f(x) < h(x) < g(x) \text{를 만족하면} \lim_{x \to a}{f(x)} \le \lim_{x \to a}{h(x)} \le \lim_{x \to a}{g(x)} $$
무한 이외에 다른 어떤 물음도 그토록 인간 정신에 큰 물음을 준 것은 없었다.
-힐베르트
- 엡실론-델타 논법에 대해서는 나중에 따로 자세히 다룰 것이다. [본문으로]
