※본 글에는 수식이 사용되었습니다. 모바일에서는 수식이 깨져 보이지 않을 수 있는 점 참고 바랍니다. 만일 수식이 깨져 보일 경우 데스크톱 모드를 사용하여 주시길 부탁드립니다.
앞에서 함수의 극한에 대하여 알아보았다. 처음에 나온 내용을 기억해보자. '함수' 뿐만 아니라 '수열' 또한 극한이 있다고 하였다. 수열은 자연수 집합에서 정의된 함수로 볼 수 있다. 그러나 자연수 집합에서 정의되기에 수열의 극한에서 n을 특정한 값에 한없이 가까워질 때의 극한을 구하는 것은 의미가 없다. 그래서 수열의 극한에서는 n이 무한히 커지는 경우의 극한을 조사한다.
<사진-수렴, 발산, 진동>
함수의 극한이든 수열의 극한이든 극한은 크게 발산과 수렴으로 나뉘어지며, 발산은 진동하는 것과 진동하지 않는 것으로 나뉜다. 이전 글에서 수렴과 발산이 무엇인지 알아보았으니 여기서는 넘어가겠다. 진동이라는 말은 독자들에게 다소 생소하리라 생각한다. 다음의 수열을 보며 알아보자.
진동
진동 발산하는 형태는 크게 두가지이다.
1. 음양이 바뀌면서 무한히 커지는 경우
위의 상단 좌측 그래프이다.
$$ a_{n} = \left( {{ 11 } \over {9} } \right)^{n-1}$$
2. 음양이 바뀌면서 절댓값이 같은 경우
위의 하단 그래프이다.
$$ a_{n} = \left( -1 \right)^{n-1} $$
진동하는 것처럼 보이나 수렴하는 경우는 다음과 같다.
3. 음양이 바뀌면서 특정한 값에 가까워지는 경우
위의 상단 우측 그래프이다.
$$ a_{n} = 2^{-n+4} $$
위 그래프는 예시일 뿐이지 값의 부호가 변하는 것만 진동이라는 것이 아니다. 위와 같은 형태로 변화하면 모두 진동이라고 할 수 있다. 진동이란 수열이 발산하면서 양의 무한대1로 발산하지도, 음의 무한대2로 발산하지도 않는 경우이다. 또한 3의 경우 진동하는 것이 아니다. 이유는 n이 무한히 커지면서 수열이 특정한 값에 가까워지는 상황, 즉 수렴하기 때문이다.
나와 함께 있으면 모든 것이 수학으로 변한다.
-르네 데카르트
